数学奥林匹克高中训练题(23)及答案

数学奥林匹克高中训练题（23）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题28)对120,10xxa，记aaxaxy11211，axaaxy11212．则12xx与12yy的关系为(C)．(A)1212xxyy(B)1212xxyy(C)1212xxyy(D)不能确定，与a有关2．(训练题28)已知函数2()224fxxaxa的定义域为R，值域为[1,)．则a的取值为(D)．(A)区间[1,3](B)区间(15,15)(C)区间(,1)(3,)(D)集合{1,3}3．(训练题28)如图１，几何体111ABCABC中，11ABAB，则111,,AABBCC三线共点的充要条件是(C)．(A)1111////BCBCACAC且(B)1111BCBCACAC且(C)11111AABBBAABAA且(D)面ABC与面111ABC不平行4．(训练题28){}na是公差为d的等差数列，则数列中任（不同）两项之和仍是这个数列中一项的充分必要条件是(A)．(A)存在整数1m，使得1amd(B)0(1,2,3,)nan(C)1a为整数，1d(D)12211,nnnaaaaa5．(训练题28)11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyCxyDxy是抛物线2(0)yaxbxca上的四点，且满足1423xxxx.则有(A)．(A)//ADBC(B)ADBC(C)AD与BC相交但不垂直(D)不能确定，与字母取值有关6．(训练题28)已知42(1)()nixxR展开式中的实部是关于x的多项式，则此多项式的和为(B)．(A)21(1)2nn(B)0(C)212n(D)212n二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题28)已知cos5sin15sin25sin35,sin5cos15cos25cos35ooooooooMN．则MN1．2．(训练题28)不等式224416xxx的解的集合为{4,0}．3．(训练题28)如图2，直三棱柱111ABCABC中，底面是等腰直角三角形，11190oABC，111AC，12AA，连11,ABAC，则平面11AAB与平面11ABC所成二角面的平面角为arctan2（用反三角函数表示）．4．(训练题28)已知lg10,1010baab，则ab10．5．(训练题28)已知11111......(,)2341996nnmNm．则n0(mod1997)．6．(训练题28)有五个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每个匣子内放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，现允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有24种．三、(训练题28)(本题满分20分)已知直线:(,0)lykxhkh与x轴交于A点，与y轴交于B点，且与椭圆2222:1xyCab没有公共点．求证：baAB．四、(训练题28)(本题满分20分)如图３，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，沿11,ACBABD切去它的两角，再沿面11,BDCACD切去两角．求所剩下几何体的体积．312a五、(训练题28)(本题满分20分)已知012,,,,naaaa为等差数列，()(0)xxbfxbbb，求证：00[()][(1)](1)()nkknkknnkaCfxfxafxafx．第二试一、(训练题28)(本题满分50分)梯形ABCD中，//,CDABABC与BAD均为锐角，连对角线,ACBD，求证：必可把ABC分成4个互不重叠的三角形1234,,,XXXX，把ABD也分成4个互不重叠的三角形1234,,,YYYY，使得(1,2,3,4)iiXYi．AA1B1C1BCA1B1C1D1ABCDNGEMF二、(训练题28)(本题满分50分)已知数列1112222111,21().31nnnnnaaaaaaaaaan求证：1nnaa．三、(训练题28)(本题满分50分)凸66边型内角中，必存在两个角,，使得19971coscosa．