数学奥林匹克高中训练题(20)及答案

数学奥林匹克高中训练题（20）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题25)已知函数1xayxa的反函数的图象关于点(1,3)成中心对称图形，则实数a等于(A)．(A)2(B)3(C)-2(D)-42．(训练题25)我们把离心率等于黄金比215的椭圆称之为“优美椭圆”．设abyax(12222＞b＞0)为优美椭圆，,FA分别是它的左焦点和右端点，B是它的短轴的一个端点，则ABF等于(C)．(A)60o(B)75o(C)90o(D)120o3．(训练题25)已知ABC三边的长分别是,,abc，复数12,zz满足1212,,zazbzzc，那么复数21zz一定是(C)．(A)是实数(B)是虚数(C)不是实数(D)不是纯虚数4．(训练题25)函数21522223411(1)6()1xxCxxPfxCCC的最大值是(D)．(A)20(B)10(C)10(D)205．(训练题25)以O为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,ABC三点．已知4BOCS，16ABCS，则ABC等于(B)．(A)12(B)512(C)712(D)11126．(训练题25)在集合{1,2,3,,10}M的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．(A)102个(B)92个(C)210个(D)29个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题25)在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中A1AC1B1BCD线所在直线方程分别是31yx和2ymx，则实数m的值是3124或．2．(训练题25)设()(0,1)1xxafxaaa，[]m表示不超过实数m的最大整数，则函数]21)([]21)([xfxf的值域是{1,0}．3．(训练题25)设,,abc是直角三角形的三条边长，c为斜边长，那么使不等式kabcbacacbcba)()()(222对所有直角三角形都成立的k的最大值是232．4．(训练题25)如图，正三棱柱111ABCABC的各条棱长都是1，截面1BCD在棱1AA上的交点为D，设这个截面与底面ABC和三个侧面111111,,ABBABCCBCAAC所成的二面角依次为1234,,,，若1234coscoscoscos，则截面的面积等于338．5．(训练题25)已知()fx是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)23fxfxfxf若，则(1949)f的值是32．6．(训练题25)设1x是方程12cos3sin3axx的最大负根，2x是方程222cos2sinxxa的最小正根，那么，使不等式12xx成立的实数a的取值范围是13122aa或．第二试一、(训练题25)(本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A型零件和2000个B型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个A型零件的时间可加工3个B型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77二、(训练题25)(本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、(训练题25)(本题满分35分)实数数列1231997,,,,aaaa满足：1223199619971997aaaaaa．若数列nb满足：12(1,21997)kkaaabkk．求199719963221bbbbbb的最大可能值．四、(训练题25)(本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567AAAAAAA，顶点12,PP在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,PP，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．