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数学奥林匹克高中训练题（19）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题24)对于每一对实数,xy，函数f满足方程()()()1fxyfxfyxy，且(1)1f．那么，()(1)fnnn的整数n的个数共有(B)个．(A)0(B)1(C)2(D)32．(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为(A)．(A)72(B)96(C)48(D)以上都不对3．(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有5名队员参加，比赛记分办法是：队员在比赛中获第几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是(C)．(A)29(B)28(C)27(D)134．(训练题24)现有下面四个命题：①底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥．②底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．③有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台．④有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱．其中，正确的命题的个数是(D)．(A)3(B)2(C)1(D)05．(训练题24)设:fNN，且对所有正整数n，有(1)(),(())3fnfnffnn．(1997)f的值为(C)．(A)1997(B)1268(C)3804(D)59916．(训练题24)247247(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1xxxyyyyx的解(,)xy共有(B)组．(A)4(B)2(C)1(D)0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题24)数列{}na的前14项是4，6，9，10，14，15，21，22，25，26，33，34，35，38，…．按此规律，则16a46．2．(训练题24)函数111()()(1)1fxxxxxx的值域是(0,1)．3．(训练题24)方程221230111236xxxx的解是132307．4．(训练题24)若方程2(12)30()xixmimR有一实根、一虚根，则此虚根是122i．5．(训练题24)平面上有四点,,,ABCD，其中,AB为定点，且3,,ABCD为动点，且1ADDCBC，记ABDSTBCD为的面积．则22ST的取值范围是22233748ST．6．(训练题24)使不等式1111199512213annn对一切自然数n都成立的最小自然数a是1997．第二试一、(训练题24)(本题满分25分)已知12,FF是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，c为半焦距，弦AB过焦点2F．求1FAB的面积的最大值．二、(训练题24)(本题满分25分)若1110,1,,6niiiixxxxn，求证：111!niiinxx．三、(训练题24)(本题满分35分)已知ABC是等腰三角形，,ABACCD是腰AB上的高线，CD的中点为,,MAEBMEAFCEF于于．求证：13AFAB．四、(训练题24)(本题满分35分)46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人．存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题．求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题．