数学奥林匹克高中训练题(18)第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.(训练题23)119963除以19971996所得的余数是(D).(A)1(B)1995(C)1996(D)19972.(训练题23)若在抛物线)0(2aaxy的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O,且该圆与抛物线没有别的公共点,则r的最大值是(A).(A)a21(B)a1(C)a(D)a23.(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线(共四条线段),则正确的命题是(B).(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边.(B)任何三条线段都可组成一个三角形,其中每个内角都是锐角.(C)任何三条线段都可组成一个三角形,其中必有一个是钝角三角形.(D)任何三条线段都可组成一个三角形,其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”,随长方体的长,宽,高而变化,不能确定.4.(训练题23)若20x,则11tancotsincosxxxx的取值范围是(D).(A),(B),0(C)),21((D),15.(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻,则其可能的排法个数是(A).(A)!5!7!8(B)!4!6!7(C)!7!3!10(D)!3!7!106.(训练题23)使得11cos51sinn成立的最小正整数n是(B).(A)4(B)5(C)6(D)7二、填空题(本题满分54分,每小题9分)1.(训练题23)设Ra,若函数310),(xyxfy关于直线xy对称,且)(xfy与)lg(2axxy有公共点,则a的取值范围是6a.2.(训练题23)设1,,2iRba且存在Cz,适合1zbiazzz则ab的最大值等于18.3.(训练题23)设900,若sin1)60tan(31,则等于3050oo或.4.(训练题23)设''''DCBAABCD是棱长为1的正方体,则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点'''',,,DCBA的圆上的点Q之间的最小距离d322.5.(训练题23)如图,在直角坐标系xOy中,有一条周期性折线(函数)).(:1xfyl现把该曲线绕原点O按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l,则这两条曲线与y轴及直线Nnnx围成的图形的面积等于(1[])(2[])222nnnn.6.(训练题23)设ba,都是正整数,且100)21(2ba则ba的个位数等于4.第二试一、(训练题23)(本题满分25分)求证:在复平面上,点集}01:{3zzCzS中,除去某一个点外的所有的点都在圆环45313z中.二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22ppxy其焦点为F.试问:是否存在过F点的弦AB(BA,均在抛物线上,且A在第一象限内),以及y)轴正半轴上的一点P,使得BAP,,三点构成一个以P为直角顶点的等腰直角三角形?证实你的回答.如果回答是肯定的,请求出直线AB的方程.43()42pyx三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321AAA及点0P,构造点列0P,1P,2P,使得13kP为点kP3绕中心1A顺时针旋转150时所到达的位置,而23kP和33kP为点13kP和23kP分别绕中心2A和3A顺时针旋转105时所到达的位置,,3,2,1,0k.若对某个Nn,有03PPn,试求321AAA的各个内角的度数及三个顶点321,,AAA的排列方向.四、(训练题23)(本题满分35分)设n210,nbbb210,且niiniiba11又1A1xA-1A7A5A3A-3yO-154321-3768-2存在)1(nkk使得当ki时有iiab,当ki时,有iiab.求证:niiniiba11.