数学奥林匹克高中训练题(17)及答案

数学奥林匹克高中训练题（17）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log2,}23nnnN的真子集的个数是(A)．(A)7(B)8(C)31(D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A)52个(B)53个(C)57个(D)72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6}(B){0,1,2,3,4,5,6}(C){0,1,3,4,5,6}(D){0,1,2,3,5,6}4．(训练题22)函数(),()yfxygx的定义域及值域都是R，且都存在反函数，则11((()))yfgfx的反函数是(B)．(A)1((()))yfgfx(B)1((()))yfgfx(C)11((()))yfgfx(D)11((()))yfgfx5．(训练题22)若cos40sin40oo,则1239239等于(D)．(A)1cos2018o(B)1sin409o(C)1cos409o(D)2sin209o6．(训练题22)当01x时，222sinsinsin,(),xxxxxx的大小关系是(B)．(A)222sinsinsin()xxxxxx(B)222sinsinsin()xxxxxx(C)222sinsinsin()xxxxxx(D)222sinsinsin()xxxxxx二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22)已知211(),()5,()2fxxgxxgx表示)(xg的反函数，设11()(())(())Fxfgxgfx．则()Fx的最小值是703．2．(训练题22)在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有840个．3．(训练题22)四面体PABC中，,8,6,9,120oPCABCABBCPCABC面，则二面角BAPC的余弦值是11111148．4．(训练题22)设{}P不少于3的自然数，在P上定义函数f如下：若,()nPfn表示不是n的约数的最小自然数，则(360360)f16．5．(训练题22)n为不超过1996的正整数，如果有一个，使(sincos)sincosninin成立，则满足上述条件的n值共有498个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是3929．第二试一、(训练题22)(本题满分25分)点M是正三角形内一点，证明：由线段,MAMB和MC为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13．二、(训练题22)(本题满分25分)若21xy，试求函数2224uyyxx的最小值．95三、(训练题22)(本题满分35分)证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x和y，使得如下不等式成立02312xyxyxy．四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．