数学奥林匹克高中训练题(10)及答案

数学奥林匹克高中训练题（10）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积(C)．(A)1(B)33(C)1或33(D)33或232．(训练题15)设有长度为12345,,,,aaaaa的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组成了10个三角形，这些三角形中(A)．(A)必有一个锐角三角形(B)必有一个直角三角形(C)不可能有锐角三角形(D)是否存在锐角三角形与已知线段长有关3．(训练题15)在锐角ABC中，,,ABC为其内角，设cot2cot2cot2TABC，则一定有(C)．(A)0T(B)0T(C)0T(D)0T4．(训练题15)C为复数集，设18{|1,}AzzzC，18{|1,}BC，{|,}DzzAB．则D中的元素的个数为(D)个．(A)864(B)432(C)288(D)1445．(训练题15)已知正数,,abc，满足1995abbccd，则cab+abc+bca的最小值为(B)．(A)1995(B)3665(C)2665(D)6656．(训练题15)已知函数()fx在(0,)上有定义且为增函数，并满足1()(())1fxffxx．则(1)f(D)．(A)1(B)0(C)251(D)251二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题15)已知抛物线方程(0)2xyhh，点(2,4)P在抛物线上，直线AB在y轴上的截距大于0，且与抛物线交于,AB两点，直线PA与PB的倾斜角互补，则PAB的面积的最大值是6439．2．(训练题15)设p是一个素数，4p的各正约数之和是一个完全平方数，则p=3p．3．(训练题15)方程cos(1)cos(2)cos(3)0axbxcx在开区间(0,)内至少有两个根，则此方程的所有根为一切实数．4．(训练题15)设12,xx是实系数方程2240xkx的两个非零实根，且满足221221()()7xxxx，则k取值范围是55kk或．5．(训练题15)设多项式()px的次数不超过3次，且(0)1,(3)0,(2)(2)pppxpx．若()px的首项系数为负数，则()px1(1)(2)(3)6xxx．6．(训练题15)在一次网球比赛中，n个女子和2n个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则n3．第二试一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的a的值，(,)22a，使方程组1arcsin(sin)1tan()10yxyx，在110x的条件下恰有10个解．二、(训练题15)(本题满分25分)已知,An均为自然数，其中21,nAn，且2|[]1nnA．求A的值．三、(训练题15)(本题满分35分)某厂第一天产品不超过a件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过a件，且设,0baqrra，证明，当日产量达到b件时，工厂生产产品总数不少于2)2)(1(rqaq件．四、(训练题15)(本题满分35分)平面上有n个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图中总存在两个没有公共边的同色三角形，求n的最小值．