数学奥林匹克高中训练题(09)及答案

数学奥林匹克高中训练题（09）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题14)设3p，p和4p都是素数，(4)Spp，对于1,2,3,,1ik，1iS表示iS的各位数码之和，若kS是一位数，则kS(B)．(A)3(B)5(C)7(D)92．(训练题14)已知ABC的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点)，且(0,0),(36,15)AB．则ABC的面积的最小值是(B)．(A)12(B)32(C)52(D)723．(训练题14)把1995个不加区别的小数分别放在10个不同的盒子里，使得第i个盒子中至少有i个球(1,2,3,,10i)，则不同放法的总数是(D)．(A)101940C(B)91940C(C)101949C(D)91949C4．(训练题14)已知P为ABC内一点，直线,,APBPCP交,,BCCAAB于,,DEF，且1995APBPCPPDPEPF，则APBPCPPDPEPF的值为(C)．(A)1995(B)1996(C)1997(D)19985．(训练题14)cos6cos42cos66cos78oooo(A)．(A)116(B)18(C)14(D)某个无理数6．(训练题14)正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是三条棱的交点，这三条棱的另一端是正十二面体的另外三个顶点，则称这三个顶点与前一个顶点是相邻的．在每个顶点放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是与该顶点相邻的三个顶点处所放实数的算术平均值．设M和m分别是这20个实数中最大的和最小的,则Mm=(A)．(A)0(B)1(C)12(D)不能确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题14)设函数f(x)的定义域和值域都是R，且对任意的,abR有[()]fafbab，则(1995)f的值是1995．2．(训练题14)已知双曲线221xytt的右焦点为F，过F的任一直线交双曲线的右支于,MN，MN垂直平分线交x轴于P．当t取不等于0的任意正实数时，FPMN22．3．(训练题14)设z是1的7次方根，1z．则24zzz的值是172i．4．(训练题14)设2()(,,,0)fxaxbxcabcRa．如果在1x时，()1fx，则在1x时，2axb的最大值等于4．5．(训练题14)设{0,1,2}ix，1,2,,in，且11niiTx，221niiTx，…，1nkkiiTx．设1Ta，2Tb，用,ab表示kT，则kT11(21)(22)kkba．6．(训练题14)在六条棱长分别是2,3,3,4,5,5的所有四面体中，最大的体积是823．第二试一、(训练题14)(本题满分25分)M为ABC内一点，满足90,150,120oooAMCAMBBMC，设,,PQR分别为AMC,AMB和BMC的外心，求证：PQRABCSS．二、(训练题14)(本题满分25分)设{}na为等差数列，d为公差，且1a和d均为实数，它的前n项和记作nS．设集合221{(,)|},{(,)|1,,}4nnSAanNBxyxyxyRn．下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举一个例子说明．(1)以集合A中的元素为坐标的点都在同一直线上；(2)AB至少有一个元素；(3)10a时，一定有AB．三、(训练题14)(本题满分35分)对于正整数(1)nn的每个质约数，考虑其不超过n的最高次幂，所有这些方幂的和记为()fn，例如62642(100)2589,(120)235170ff．证明：存在无穷多个n，使得()fnn．四、(训练题14)(本题满分35分)某桥牌俱乐部规定：仅当四人中无二人曾经相互作过伙伴时才能一起玩，在一次有14人参加的集会中，他们每人都曾与其他5人作过伙伴，玩3局之后，按规定只能停止．正当他们准备离开时，他们都不认识的一个新会员来了，证明这时至少还有一局可以玩．