数学奥林匹克高中训练题(09)

数学奥林匹克高中训练题（09）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题09)由1003(32)x展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（B）项．(A)50(B)17(C)16(D)152．(训练题09)已知z满足5123zi．则z的最大值是（D）(A)3(B)10(C)20(D)163．(训练题09)正方体1111ABCDABCD的棱长为a，E为CD的中点，F为1AA的中点，过1,,EFB的截面面积是（C）(A)2555192a(B)2294a(C)2112948a(D)27298a4．(训练题09)方程sincos1(0)2xx的解的个数是（B）．(A)0(B)1(C)2(D)大于25．(训练题09)设a是正整数，100a，并且323a能被24整除．那么，这样的a的个数为（B）．(A)4(B)5(C)9(D)106．(训练题09)从1,2,,49中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数是（D）．(A)649C(B)644C(C)654944CC(D)564944CC二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题09)已知12,zz在复平面上对应点分别为,PQ，且22211224,420zzzzz．则,PQ与原点O所成的OPQ面积等于___23_____．2．(训练题09)设四面体ABCD的体积为,VE为棱长AD的中点，F在AB的延长线上，且BFAB，过,,CEF三点的平面交BD于G．则四面体CDGE的体积为___3V_____．3．(训练题09)设,,0xyz且1xyz．则149xyz的最小值为___36_____．4．(训练题09)函数2()fxxa在区间11x内的最大值()Ma的最小值是____12____．5．(训练题09)对于正整数m，它的个位数码用()fm表示，记1(21)(1,2,)nnafn．则1994a_____7___．6．(训练题09)(3)nn条直线中恰有(2)pp条互相平行，而且n条直线中没有3条相交于同一点，则这条直线将平面分割成的块数是___221(2)2npnp_____．第二试一、(训练题09)（本题满分25分）已知圆的方程为224xy．试在坐标平面上求两点(,),(,)AstBmn，使下列两条件满足：(1)圆上任意一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值k；(2),smtn，且,mn均为自然数．((2,2),(1,1))二、(训练题09)（本题满分25分）求满足条件的实系数多项式()fx；(1)对于任意的实数a，有(1)()(1)fafaf；(2)存在某一实数10k，使122311(),(),,(),()nnnfkkfkkfkkfkk，其中n为()fx的次数．(()fxx)三、(训练题09)（本题满分35分）正整数n的所有约数之和用()fn表示，(比如(4)1247f)．试答下列各问：(1)证明：如果m和n互质，那么()()()fmnfmfn；(2)当a是n的约数()an，且()fnna，试证n是质数，其次，如果l是正整数，21l是质数，试证l也是质数；(3)设2knm(k为正整数，m为奇数)，且()2fnn．试证存在质数p使得12(21)ppn．四、(训练题09)（本题满分35分）数列22199219921,1,3,3,3,3,,3,3是由两个1，两个3，两个23，…，两个19923按从小到大顺序排列，数列各项的和记为S，对于给定的自然数n，若能从数列中选取一些不同位置的项，使得这些项之和恰等于n，便称为一种选项方案，和数为n的所有选项方案的种数记为()fn．试求：(1)(2)()fffs的值．(1993(1)(2)()41fffs)