数学奥林匹克高中训练题(08)及答案

数学奥林匹克高中训练题（08）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题13)设000(,)Pxy为圆22(1)1xy上任意一点，欲使不等式000xyc恒成立，则c的取值范围是(B)．(A)[0,)(B)[21,)(C)(,21](D)[12,)2．(训练题13)设有三个函数，第一个函数是定义在实数集上的单调函数记为()yfx，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图象关于直线0xy对称，那么，第三个函数是(B)．(A)()yfx(B)()yfx(C)1()yfx(D)1()yfx3．(训练题13),,abcR且满足,12mmmabcm．如果以,,abc作为三角形的三边，那么所得的结果是(C)．(A)不能构成三角形(B)可构成锐角三角形(C)可构成钝角三角形(D)可构成锐角或钝角三角形4．(训练题13)若函数()fx是定义在R上的实函数，它既关于直线1x对称，又关于直线3x对称，那么函数()fx(D)．(A)不是周期函数(B)是周期为1的函数(C)是周期为2的函数(D)是周期为4的函数5．(训练题13)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且各侧棱与底面所成的角分别为,,．那么，sin2sin2sin2(C)．(A)(B)(C)1(D)6．(训练题13)数,满足如下等式：3232351,355，那么，的值为(B)．(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题13)设()sin()cos()fxaxbx，其中,,ab为常数，则函数()fx的最大值是222sin()abab．2．(训练题13)已知02，02，且sincos2a，当02时，a的取值范围是102a．3．(训练题13)设(,)(1,2,3,4)iiiMxyi为抛物线2(0)yaxbxca上相异四点，当1234,,,MMMM四点共圆时，1234xxxx2ba．4．(训练题13)若点(,)Pxy横坐标x与纵坐标y均为整数，则P点称为整点，设N为正整数，如图所示的正方形R中(包括边界)一共有整点的个数为2221NN．5．(训练题13)设一元三次方程310xpx的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形，则p0，此正三角形面积为334S．6．(训练题13)设2121,,,pqpqqp都是整数，且1,1pq，则pq8．第二试一、(训练题13)(本题满分25分)已知抛物线方程为2(0)yaxbxca，在其内作半径为1a的1C内切于抛物线，作2C与1C外切且内切于抛物线，作3C与2C外切且内切于抛物线，如此下去，得一列圆123,,,nCCCC，求前n个圆的面积之和．(2(1)(21)6Snnna)二、(训练题13)(本题满分25分)设平面上的凸n边形123nAAAA各边依次为123,,,,naaaa，其面积为n．试证：22221234tannnaaaan．等号成立时当且仅当n边形123nAAAA为正n边形．三、(训练题13)(本题满分35分)设ABC的三边分别为,,abc，且均为整数，若满足3AB，试求出周长的最小值并给出证明．四、(训练题13)(本题满分35分)圆周上有1994个点，将它们染成若干种不同的颜色，且每种颜色的点O-N-NNNyx数各不相同，今在每种颜色的点集中各取一个点，组成顶点颜色各不相同的圆内接多边形，为了要使这样的多边形个数最多，应将1994个点染成多少种不同的颜色？且每种颜色的点集各含有多少个点？