数列练习

数列练习第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案代号填在下面的答题框内.)1.设某等差数列的首项为a(a≠0)，第二项为b.则这个数列中有一项为0的充要条件是A.a-b是正整数B.a+b是正整数C.babD.baa是正整数2.已知b≠0，则b=ac是a、b、c成等比数列的A.充分不必要条件B.C.充要条件D.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P(n，nSn)，Q(n+2，33nSn)(n∈N*)的一次函数解析式是A.y=2x+1B.y=21C.y=21x-1D.y=2x-14.若数列{an}的通项公式为an=5(52)2n-2-4(52）n-1(n∈N*)，{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y等于A.3B.4C.5D.65.已知an=1562nn(n∈N*)，则数列{an}的最大项为A.a12B.a13C.a12或a13D.6.等比数列{an}中，a1=512，公比q=21，用Πn表示它的前n项之积：Πn=a1·a2·…·an，则Π1，Π2…中最大的是A.Π12B.Π11C.Π9D.Π87.下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通A.an=3n-1B.an=3nC.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-38.某人从2002年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为A.a(1+r)7B.ra［(1+r)7-(1+r)］C.a(1+r)8D.ra［(1+r)8-(1+r)］第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在下面的横线上.)9.在等比数列{an}中，a1+a2+a3=-3，a1·a2·a3=8，且a1a3，则an=.10.已知数列{an}的前n项和Sn=3)2)(1(nnn，则数列{na1}的前n项和Tn=.11.在n行m列的方格表中每个方格上都填上一个数，使得第n行的m个数与每列的n个数分别都成等差数列，如果表的角上的四个数的和等于s，则这个表中所有数的和等于.12.某些植物发芽具有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽，如下表(设第一年前的新芽数为a)：第x年12345…老芽数aA2a3a5a…新芽数0AA2a3a…总芽数a2a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为(精确到0.001).三、解答题(本大题4小题，共48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)13.(本小题满分12分)已知等差数列{an}中，a2=8，前10项的和S10=185.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排列成一个新的数列{bn}，试求新数列{bn}的前n项和An.14.(本小题满分12分)为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区坡度大于25°的坡荒地面积约为2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每一年都比前一年多绿化60万亩.(1)若所有应被绿化造林的坡荒地全部绿化成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么当整个库区25°以上荒地全部绿化完的哪一年底，一共有木材多少万立方米?(保留1位小数，1.29=5.16，1.28=4.30)15.(本小题满分12分)设等差数列{an}的首项为a(a≠0)，公差为2a，前n项和为Sn.记A={(x，y)|x=n，y=nSn，n∈N*}，B={(x，y)|(x-2)2+y2=1，x、y∈R}.(1)若A∩B≠a的取值集合；(2)设点P∈A，点Q∈B，当a=3时，求|PQ|的最小值.16.(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且同时满足：①对任意x∈［0，1］，总有f(x)≥2；②f(1)=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.(1)求f(0)的值；(2)试求f(x)的最大值；(3)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=-21(an-3)，n∈N*.求证：f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤23+2n-1321n.参考答案1.Dan=a+(n-1)(b-a)=0，n-1=baa是正整数.故选D.2.A当b≠0时，a、b、c成等比数列b2=acb=±ac.3.A{nSn}也成等差，故一次函数过点(2，22S)，(5，55S).4.Aan=5(52)2n–2-4(52)n–1(n∈N*)令u=(52)n-1(n∈N*)，则u=1，52，254，…则an=5·u2-4u.如图，当u=1时an取得最大项，即第一项：x=1.当u=52时，an取得最小项，即第二项：y=2，则有x+y=3.故选A.5.C法Ⅰ：考察函数f(x)=x+x156(x0)知，当且仅当x=156时，f(x)有最小值，且当x156时单增，0x156时单减，又1215613，而f(12)=f(13)=25.故当n=12或13时，n+n156取最小值25，而an有最大值251.法Ⅱ：由，，11kkkkaaaa得，156)1(1156，156)1(11562222kkkkkkkk即，0156，015622kkkk∴1-2≤k≤13，即当n=12或13时，an最大.点评：要确定数列最大项，一种思路是判定数列的单调性(比较an与an-1大小)，一种思路是借助函数的单调性及最值求法.6.Can=210–n，Πn=29+8+…+(10–n)=2)19(2nn.7.A由题意分析知：a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，则数列{an}可以是首项为a1=1，公比q=3的等比数列，所以an=a1·qn-1=3n-1.故选A.8.B2007年1月1日，2006年1月1日，…，2002年1月1日存入钱的本息分别为：a(1+r)，a(1+r)2，…，a(1+r)6.相加即可.9.-(-2)n-110.1nnan=Sn-Sn-1=n(n+1)，∴na1=n1-11n.11.4mns设nmnnmaaaaaa2111211是题设的数表，它的第一行的数之和是a11+a12+…+a1m=2)(111maam；第n行的数之和为an1+an2+…+anm=2)(1maanmn;各列的数的和依次为2)(111naan，2)(212naan，…，2)(1naanmm.设表中所有的数的和为Snm，则Snm=2)(111naan+2)(212naan+…+2)(1maanmm=［(a11+an1)+(a12+an2)+…+(a1m+anm)］×2n=［(a11+a12+a1m)+(an1+an2+…+anm)×2n=2)(111maam+2)(1maanmm×2n=(a11+a1m+an1+anm)×4mn=4mn.点评：本题为数列与矩阵结合题，要求所有数的和，只需根据等差数列前n项和公式Sn=2)(1naan，将所有数的和转化为已知条件四个角上的数的和s即可.12.0.618从表中易推得第8年老芽数为21a，总芽数为34a.事实上设老芽数为数列{an}，则知an+1=an+an-1.点评：本题以菲波那契“兔子数列”及黄金分割为背景设计，可让学生感知数学应用无处不在，数学美无处不在.13.解：(1)an=3n+2(2)bn=na2=3·2n+2，则An=3(2+22+…+2n)+2n=6(2n-1)+2n=6·2n+2n-6.14.解：(1)设a1=120，d=60，第n年后可以使绿化任务完成，则有Sn=120n+2)1(nn·60≥2640，解得n≥8.故到2010年底，可以使库区内25°以上的坡地全部绿化.(2)到2010年造林数量为a8=120+7×60=540(万亩)设到2010年木材总量为SS=(120×1.28+180×1.27+240×1.26+…+540×1.2)×0.1=6(2×1.28+3×1.27+…+9×1.2)则1.2S=6(2×1.29+3×1.28+…+9×1.22)两式相减，有：0.2S=6(2×1.29+1.28+1.27+…+1.22-9×1.2)=6［2×1.29+2.11)2.11(2.172-10.8］=6(7×1.29-18)∴S=30(7×1.29-18)≈543.6(万立方米)答：到2010年底共有木材543.6万立方米.点评：本题具有浓郁的时代特色，解答的过程不仅涉及抽象建模，等差、等比数列及错位相减求和等知识方法的应用，还能从中体会到数学的科学价值和人文价值.15.解：(1)由已知得Sn=na+2)1(nn·2a=an2，nSn=an.∴A={(x，y)|y=ax，x∈N*}.(a≠0)由B={(x，y)|(x-2)２+y2=1，x，y∈R}知|x-2|≤1∴1≤x≤3.由A∩B，知集合B中x只能取1，2，3，又y≠0，∴x=2.此时y=±1，由y=ax可求得a=±21.故a的取值集合为{21，-21}.(2)由(1)知点P可设为(n，3n)，圆(x-2)2+y2=1的圆心M(2，0)，半径r=1.先求|PM|最小值.|PM|2=(n-2)2+3n2=4n2-4n+4=4(n-21)2+3.又n∈N*，∴|PM|最小值为2(n=1).故|PQ|min=|PM|min-r=2-1=1.点评：本题在数列、函数、直线与圆、集合等知识交汇处立意，考查学生综合分析问题能力，关键在于深刻理解离散函数y=ax，x∈N*，连续函数y=ax，x∈R在与圆位置关系中的不同点.另外，可借助图象加以分析.16.(1)令x1=x2=0，则f(0)≥2f(0)-2，∴f(0)≤2.又对任意x∈［0，1］，总有f(x)≥2，∴f(0)=2.(2)任取x1，x2∈［0，1］且x1x2，则0x2-x1≤1，∴f(x2-x1)≥2.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-2≥f(x1)，∴f(x)的最大值为f(1)=3.(3)∵Sn=-21(an-3)(n∈N*)，∴Sn-1=-21(an-1-3)(n≥2)，∴an=-21an+21an-1(n≥2).∴an=31an-1(n≥2)，又∵a1=1≠0，∴1nnaa=31(n≥2)，∴数列{an}是以1为首项，公比为31的等比数列，∴an=131n.当n=1时，f(a1)=f(1)=3=23+2-11321不等式成立.当n=2时，f(a2)=f(31)，∵f(1)=f(31+31+31)≥f(31)+f(31+31)-2≥3f(31)-4.∴f(31)≤37.∴f(a1)+f(a2)=f(1)+f(31)≤3+37=23+623=23+4-321不等式成立.假设n=k时，不等式成立，即f(a1)+f(a2)+…+f(ak)≤23+2k-1321k，则n=k+1时，f(ak+1)=f(k31)=f(131k+131k+131k)≥3f(131k)-4，∴f(131k)≤31f(k31)+34，f(31)≤31f(131k)+34，k=1，2，…∴f(k31)≤231f(231k)+234+34≤…≤131kf(31)+134k+234k+…+234+34≤k37+2-132k=2+k31.∴f(a1)+f(a2)+…+f(ak)+f(ak+1)≤23+2k-1321k+2+k31=23+