数列极限复习指导

数列极限复习指导一、重点难点分析：1.三个最基本的极限(1)常数数列的极限就是其本身，即：C=C。(2)=0。(3)当|q|1时，qn=0。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。2.数列极限四则运算法则：如果an=A,bn=B,那么：(an±bn)=an±bn=A±B。(an·bn)=an·bn=A·B。==(bn≠0，B≠0)。==(an≥0,A≥0)。应特别注意理解：(1)公式成立的条件：公式成立的前提是{an}与{bn}都存在极限。(2)公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序。(3)公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广到无限个。3.无穷数列各项的和(1)无穷递缩等比数列：当公比|q|1时无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列。Sn==。则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和，用S表示，即S=。(3)其它无穷数列各项的和：若无穷数列{bn}不是等比数列，但可求得前n项和Tn，且Tn=t。则无穷数列{bn}的各项和存在，且为：S=Tn=t。4.求数列极限的方法与基本类型：1)．求数列极限的基本思路是“求和——变形——利用极限的运算法则求解”，而在求解前应先化为三个重要的极限。2)．常见的几类数列极限的类型和方法有：①型：分子分母分别求和再化简转化②型：分子分母分别求和再化简转化③已知极限值定参数：待定系数法3)．要注意极限运算法则的使用范围，以及特殊极限的使用条件。4)．实际运用中极限思想应引起注意。二、应用举例：例1．求下列极限：(1)(2)(3)解：(1)∵∴原式=。(2)∵=∴原式=。(3)∵∴原式。例2．设数列a1,a2,……an……的前n项和Sn与an的关系是：，其中b是与n无关的常数且b≠-1。①求an和an-1的关系式。②写出用n和b表示an的表达式。③写0b1时，求极限。解析：(1)∵∴(2)∵,∴。∴由此猜想。证明（略）把代入上式得：(3)∵0b1时，，∴。例3．(1)已知，求a,b的值。(2)已知数列{an}的前n项和Sn=1+kan(k为不等于1的常数)且，求k的取值范围。解析：(1)由条件知该数列极限存在且为0，所以原式可变形为：。显然，当且仅当a=1时，左边才有极限，而要使其极限为0，则-(a+b)=0，解得b=-1，因此a=1,b=-1。(2)Sn=1+kan,当n=1时，a1=S1=1+ka1,∴，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=kan-kan-1,(k-1)an=kan-1，∴(常数)∴，由得,∴，故，∴k2k2-2k+1，∴。例4．（2001全国高考）已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项和为Sn,Sk=2550。(1)求a及k的值；(2)求。解析：(1)设该数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550。由已知a+3a=2×4，∴a1=a=2，公差d=a2-a1=4-2=2。由得k2+k-2550=0，解得k=50，或k=-51。∴a=2,k=50。(2)由得Sn=n(n+1)∴。∴。训练题：1．求下列极限(1)(2)(3)(4)2．设首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn，求。3．RtΔABC中，AC=a,∠A=θ,∠C=90°，排列着无限多个正方形。（如图所示），其中面积依次为S1，S2，S3，……。试将这些正方形的面积之和S用a和θ表示，若S为RtΔABC的面积的，试确定θ的值。参考答案：1.(1)(2)2(3)当|a||b|时，原式=，当|a||b|时，原式=。(4)2.∵，∴。①当q=1时，。②当q≠1时，若0q1，，若q1，。故：3．设第n个正方形的边长为xn,考虑图中三角形的长关系是，∴，又，∴，∴{Sn}是首项，公比为的等比数列。又，∴S=，而，∴，∴，∴。