数列极限复习

函数、数列以及极限的综合题例已知函数)(xfy的图象是自原点出发的一条折线．当),2,1,0(1nnyn时，该图象是斜率为nb的线段（其中正常数1b），设数列}{nx由),2,1()(nnxfn定义．求：（1）求21xx、和nx的表达式；（2）求)(xf的表达式，并写出其定义域；（3）证明：)(xfy的图像与xy的图象没有横坐标大于1的交点．分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（1）由斜率分式求出21xx、，同样由斜率公式求出关于nx的递推式，然后求出nx，（2）由点斜式求出],[1nnxx段的)(xf的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）)(xfy与xy没有交点，只要1b时xxf)(，或10b时xxf)(恒成立，当1b，由于nnxxfxxf)()(，只要证.0)(nnxxf解：（1）依题意0)0(f，又由1)(1xf，当10y时，函数)(xfy的图象是斜率为10b的线段，故由10)0()(11xfxf得.11x又由2)(2xf，当21y时，函数)(xfy的图象是斜率为b的线段，故由bxxxfxf1212)()(，即bxx112得.112bx记.00x由函数)(xfy的图象中第n段线段的斜率为1nb，故得111)()(nnnnnbxxxfxf又;1)(,)(1nxfnxfnn∴,2,1,)1(11nbxxnnn由此知数列}{1nnxx为等比数列，其首项为1，公比为.1b因1b，得nknknxxx11)(,1)1(11111bbbbbnn即.1)1(1bbbxnn（2）当10y时，从（1）可知xy，即当10x时，,)(xxf当1nyn时，即当1nnxxx时，由（1）可知).,3,2,1,)(()(1nxxxxxbnxfnnnn为求函数)(xf的定义域，须对),3,2,1(1)1(1nbbbxnn进行讨论．当1b时，;11)1(limlim1bbbbbxnnnn10b时，n，nx也趋向于无穷大．综上，当1b时，)(xfy的定义域为);1,0[bb当10b时，)(xfy的定义域为).,0[（3）证法1首先证明当11,1bbxb时，恒有xxf)(成立．对任意的)1,1(bbx，存在nx使1nnxxx，此时有),1()()()(nxxxxbxfxfnnnn.)()(nnxxfxxf又,111)(1nnnxbbnxf,0)(nnxxf,0)()(nnxxfxxf即有xxf)(成立．其次，当1b，仿上述证明，可知当1x时，恒有xxf)(成立．故函数)(xf的图象与xy的图象没有横会标大于1的交点．证法2首先证明当11,1bbxb时，恒有xxf)(成立．用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知当1n时，在],1(2x上，),1(1)(xbxfy所以0)1)(1()(bxxxf成立．（ⅱ）假设kn时在],(1kkxx上恒有xxf)(成立．可得,1)(11kkxkxf在],(21kkxx上，),(1)(11kkxxbkxf所以xxxbkxxfkk)(1)(110)1())(1(111kkkxkxxb也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在],(1nnxx上都即11bbx时，恒有.)(xxf其次，当1b，仿上述证明，可知当1x时，恒有xxf)(成立．说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录．命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．判断数列极限命题的真假例判断下列命题的真假：（1）数列,2)1(1,,1,0,1,0n的极限是0和1．（2）数列,21)1(,,21,21,21,11132nn的极限是0．（3）数列,1sin,,31sin,21sin,1sinn的极限不存在．（4）数列10000231,,31,31,1的极限是0．分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着n无限增大，数列1121)1(nn的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．（3）随着n无限增大，数列n1的项无限趋近于0，因此数列n1sin无限趋近于0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题．说明：（3）中容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列131n随着n的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．根据数列的极限确定参数的范围例若021limnnaa，则a的取值范围是（）A．1aB．1a或31aC．311aD．31a或1a分析：由0limnna（a为常数），知1a，所以由已知可得121aa，解这个不等式就可求得a的取值范围．解：由021limnnaa，得121aa，所以aa21，两边平方，得：224)1(aa，0)1)(13(,01232aaaa，所以1a或31a．答案B说明：解题过程容易误认为只有021aa，得1a，错选A．解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题．分析数列求极限例已知数列1.9，1.99，1.999，…，个n9999.1，…．（1）写出它的通项na；（2）计算|2|na；（3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？（5）指出这个数列的极限．分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限．解：（1）可将数列改写为（2-0.1），（2-0.01），（2-0.001），…，（1000.02个n），…于是此数列的通项nna1012．（2）nnna101|2)1012(||2|．（3）令01.0|2|na即01.0101n，解得2n故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01．（4）令001.0|2|na即001.0101n，解得3n故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001．（5）2)1012(limnn说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限．求数列奇数项和的极限例数列na的前n项和记为nS，已知)N(35nSann，求)(lim1231nnaaa的值．分析：为求1231naaa当n的极限，应先求出na的表达式．从已知条件中给出na与nS的关系式，可以利用)2(1naSSnnn，设法求出na的表达式．解：由11Sa及3535111aSa，可得431a．又2n时，1nnnSSa，则35;3511nnnnSaSa两式相减，得1141,5nnnnnaaaaa于是，数列na是以43为首项，公比为41的无穷等比数列．进而可得，数列,,,,,,12531naaaa是以431a为首项，公比为161412q的无穷等比数列，于是可求出极限．.541512161143)(lim1231nnaaa说明：这同1999年全国高考文史类试题．对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出na的通项公式，或确定数列的特征再求极限．由于所求数列是一个公式1q的无穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式)1(11qqaS．等比数列和的极限已知数列}{na满足条件：11a，ra2（0r），且}{1nnaa是公比为q（0q）的等比数列．设nnnaab212（,2,1n），求nb与nnS1lim，其中nnbbbS21．解：因为qaaaaaannnnnn2121，所以021221221222121qaaqaqaaaaabbnnnnnnnnnn．011rb，所以}{nb是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而1)1(nnqrb．当1q时，)1(rnSn，0)1(1lim1limrnSnnn；当10q时，qqrSnn1)1)(1(，rqqrqSnnnn11)1)(1(1lim1lim；当1q时，qqrSnn1)1)(1(，0)1)(1(1lim1limnnnnqrqS．所以1010111limqqrqSnn　　　　　　　　　反思升华：已知数列}{na满足条件：11a，ra2（0r），，对任意Nn，有raann1．设nnnnaaab31323，nnbbbS21，求nnSlim．