清华大学自主招生数学试题

2006届清华大学自主招生数学试题考试时间：2005.11.281．求最小正整数n，使得niI)32121(为纯虚数，并求出I．2．已知ba、为非负数，1ba,baM44，求M的最值．3．已知cossinsin、、为等差数列，cossinsin、、为等比数列，求2cos212cos的值．4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．6．2xy上一点P(非原点)，在P处引切线交yx、轴于RQ、，求PRPQ．7．已知)(xf满足：对实数ba、有)()()(abfbafbaf，且1)(xf，求证)(xf恒为零．(可用以下结论：若Mxfxgx)(,0)(lim，M为一常数，那么0))()((limxgxfx)8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．