普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．满分150分．考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22yx的圆心到直线33y的距离是（A）21（B）23（C）1（D）3（2）复数3)2321(i的值是（A）i（B）i（C）1（D）1（3）不等式0|)|1)(1(xx的解集是（A）}10|{xx（B）0|{xx且}1x（C）}11|{xx（D）1|{xx且}1x（4）在)2,0(内，使xxcossin成立的x的取值范围是（A）)45,()2,4(（B）),4(（C）)45,4(（D）)23,45(),4(（5）设集合},412|{ZkkxxM，},214|{ZkkxxN，则（A）NM（B）NM（C）NM（D）NM（6）点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（A）0（B）1（C）2（D）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A）43（B）54（C）53（D）53（8）正六棱柱111111FEDCBAABCDEF的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线DE1与1BC所成的角是（A）90（B）60（C）45（D）30（9）函数cbxxy2（),0[）是单调函数的充要条件是（A）0b（B）0b（C）0b（D）0b（10）函数111xy的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A）115000亿元（B）120000亿元（C）127000亿元（D）135000亿元第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xay在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a＝（14）椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k（15）72)2)(1(xx展开式中3x的系数是（16）已知221)(xxxf，那么)41()4()31()3()21()2()1(fffffff＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12coscos2sin2sin2，)2,0(，求sin、tg的值。（18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若aBNCM（20a）（I）求MN的长；（II）a为何值时，MN的长最小；（III）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小。AFBEDCMN（19）设点P到点)0,1(、)0,1(距离之差为m2，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围。（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx（I）讨论)(xf的奇偶性；（II）求)(xf的最小值。（22）设数列}{na满足：121nnnnaaa，,3,2,1n（I）当21a时，求432,,aaa并由此猜测na的一个通项公式；（II）当31a时，证明对所的1n，有（i）2nan（ii）2111111111321naaaa数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A（2）C（3）D（4）C（5）B（6）B（7）C（8）B（9）A（10）B（11）B（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）2（14）1（15）1008（16）27三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.解：由倍角公式，1cos22cos,cossin22sin2……………2分由原式得0cos2cossin2cossin422220)1sinsin2(cos222,0)1)(sin1sin2(cos22………………8分)2,0(，.21sin,01sin2,0cos,01sin2即,6.33tg……………12分（18）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ.……………3分由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=2，21,21aBQaCP即2aBQCP2222)2()21()1(aaBQCPPQMN)20(21)22(2aa.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），,21)22(2aMN所以，当.22,22MNa时即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.22……9分（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，又AG=BG=46，所以，由余弦定理有.31464621)46()46(cos22故所求二面角)31arccos(.……………12分（19）本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得||||xy=2，即.0,2xxy①………2分因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得,2||||||||MNpNPM,0||2||||||mPNPM,1||0m因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故.112222mymx②…………6分将①式代入②，并解得222251)1(mmmx，……………8分,0510122mm解得55||0m.即m的取值范围为).55,0()0,55(……………12分解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得2||||xy，即0,2xxy.①…………2分由|PM|－|PN|=2m，得,2)1()1(2222myxyx②…………4分由②式可得,2)1()1(42222myxyxx所以，0||,21||2||2||myxm且.……………6分由②式移项，两边平方整理得.)1(222mxyxm将①式代入，整理得)1()51(2222mmxm.③…………8分且,02x③式右端大于0，0512m.综上，得m满足.55||0m即m的取值范围为).55,0()0,55(……………12分（20）本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则.94.0,30121xbbb………………2分对于n1，有,)94.01(94.094.0211xbxbbnnnxbxbbnnnnn06.094.0194.0)94.094.01(94.01111.94.0)06.030(06.0nxx………………6分当.30,8.1,006.03011bbbxxnn时即………………8分当,06.0]94.0)06.030(06.0[limlim,8.1,006.0301xxxbxxnnnn时即并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近06.0x.……………10分因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60nbn.则6.3,6006.0xx即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分（21）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分.解：（Ⅰ）当)(),(1||)()(,02xfxfxxxfa此时函数时为偶函数.………………2分当,1||2)(,1)(,022aaafaafa时)()(),()(afafafaf.此时函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数.………………4分（Ⅱ）（i）当.43)21(1)(,22axaxxxfax函数时若],()(,21axfa在则函数上单调递减，从而，函数],()(axf在上的最小值为.1)(2aaf若21a，则函数],()(axf在上的最小值为).()21(,43)21(affaf且………7分（ii）当ax时，函数.43)21(1)(22axaxxxf若).()21(,43)21(),[)(,21affafaxfa且上的最小值为在则函数若.1)(),[)(,,),[)(,212aafaxfaxfa上的最小值为在函数从而上单调递增在则函数……………10分综上，当.43)(,21axfa的最小值是函数时当.1)(,21212axfa的最小值是函数时当.43)(,21axfa的最小值是函数时……………12分（22）本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）由,412,3,31,22223212121aaaaaaaa得由得由.513,432343aaaa得由此猜想na的一个通项公式：)1(1xnan………4分（Ⅱ）（i）用数学归纳法证明：①当213,11an，不等式成立.………………6分②假设当kn时不等式成立，即2kak，那么,31)2)(2(1)(1kkkkkaaakkk也就是说，当.2)1(11kaknk时根据①和②，对于所有.2,1nann有……………10分（ii）由及1)(1naaannn（i），对1)1(,211kaaakkkk有,121)121(11kkakka.1)1(2122211211aaakkkk……………12分于是.2,21111111kaakknknknkkkkaaaaa121111111.2131212211121111111……14分