普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理科

2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24RS如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式P，那么n次独立重复试验中恰好发生k334RV球次的概率knkknnPPCkP)1()(其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数.111iiz在复平面内，z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．极限)(lim0xfxx存在是函数)(xf在点0xx处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）A．10100610480CCCB．10100410680CCCC．10100620480CCCD．10100420680CCC4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若//,,则mm；②若//,,则；③若//,//,,则nmnm；④若m、n是异面直线，//,//,,//,则nnmm其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④5．函数1ln(2xxy的反函数是（）A．2xxeeyB．2xxeeyC．2xxeeyD．2xxeey6．若011log22aaa，则a的取值范围是（）A．),21(B．),1(C．)1,21(D．)21,0(7．在R上定义运算).1(:yxyx若不等式1)()(axax对任意实数x成立，则（）A．11aB．20aC．2321aD．2123a8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞)D．（3，+∞）9．若直线02cyx按向量)1,1(a平移后与圆522yx相切，则c的值为（）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－810．已知)(xfy是定义在R上的单调函数，实数21xx，,1,121xxa112xx，若|)()(||)()(|21ffxfxf，则（）A．0B．0C．10D．111．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是（）A．23+6B．21C．21218D．2112．一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是（）ABCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．nxx)2(2121的展开式中常数项是.14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）16．是正实数，设)](cos[)(|{xxfS是奇函数}，若对每个实数a，)1,(aaS的元素不超过2个，且有a使)1,(aaS含2个元素，则的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0xy（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(xxxxf设数列na{}满足)(,111nnafaa，数列nb{}满足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(nnnb；（Ⅱ）证明.332nS20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）1.5（万元）利润项目产品工人（名）资金（万元）甲88乙210用量21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(xfy在区间（0，+∞）内可导，导函数)(xf是减函数，且.0)(xf设mkxyx),,0(0是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）得的切线方程，并设函数.)(mkxxg（Ⅰ）用0x、)(0xf、)(0xf表示m；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0xfxgx时；（Ⅲ）若关于x的不等式),0[231322在xbaxx上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1.B2.B3.D4.D5.C6.C7.C8.B9.A10.A11.B12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。13．－16014．3215．57616．]2,(三、解答题17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.（Ⅰ）证明：连结CF..,2121PCAPACBCEFPE.,,PCFABABPFABCF平面..,PABPCABPCPCFPC平面平面……4分（Ⅱ）解法一：,,CFABPFABPFC为所求二面角的平面角.设AB=a，则AB=a，则aCFaEFPF23,2.33232cosaaPFC……………………8分解法二：设P在平面ABC内的射影为O.PAF≌PABPAE,≌.PAC得PA=PB=PC.于是O是△ABC的中心.PFO为所求二面角的平面角.设AB=a，则.2331,2aOFaPF.33cosPFOFPFO…………8分（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.,,PBPAPABPC平面124.232RRx，ABCxR.2.3得的边长为22.………12分解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.设AB=x，球半径为R.,2332,66tan.32,1242xOAxPFOOFPOPDR22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABCxxxx.……12分18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力.满分12分.（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则22xxyS).24(coscossin22………………4分（Ⅱ）解法一：,21)2sin(25212cos212sincoscossin22S其中.552arccos………8分当S,22,1)2sin(时即最大.……10分所以，当S,552arccos214时最大.S的最大值为.215…………12分解法二：因为,coscossin22S所以cossin2sin2cos222S.2sin2cos2……………………8分令S′=0，即,02sin2cos2可解得)2arctan(212………………10分所以，当)2arctan(212时，S最大，S的最大值为.215…………12分19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。（Ⅰ）证明：当.1121)(,0xxfx时因为a1=1，所以*).(1Nnan………………2分下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1nnnb（1）当n=1时，b1=13，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即.2)13(1kkkb那么kkkkaaab1|3|)13(|3|11………………6分.2)13(2131kkkb所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。…………8分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.2)13(1nnnb所以12212)13(2)13()13(nnnnbbbS2131)213(1)13(n…………10分.33221311)13(故对任意.332,nSNn………………（12分）20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0乙甲PP…………2分（Ⅱ）解：随机变量、