普通高等学校招生全国统一考试安数学卷

普通高等学校招生全国统一考试安数学卷数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射BAf:把集合A中的元素n映射到集合B中的元素nn2，则在映射f下，象20的原象是（A）2（B）3（C）4（D）5（2）在复平面内，把复数i33对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是（A）23（B）i32（C）i33（D）3i3（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A）23（B）32（C）6（D）6（4）已知sinsin，那么下列命题成立的是（A）若、是第一象限角，则coscos（B）若、是第二象限角，则tgtg（C）若、是第三象限角，则coscos（D）若、是第四象限角，则tgtg（5）函数xxycos的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800~900元（B）900~1200元（C）1200~1500元（D）1500~2800元（7）若1ba，P=balglg，Q=balglg21，R=2lgba，则（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ（8）以极坐标系中的点1,1为圆心，1为半径的圆的方程是（A）4cos2（B）4sin2（C）1cos2（D）1sin2（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）221（B）441（C）21（D）241（10）过原点的直线与圆03422xyx相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）xy3（B）xy3（C）xy33（D）xy33（11）过抛物线02aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于（A）a2（B）a21（C）a4（D）a4（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）321arccos（B）21arccos（C）21arccos（D）421arccos第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．（14）椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．（15）设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，…），则它的通项公式是na=________．（16）如图，E、F分别为正方体的面11AADD、面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数1cossin23cos212xxxy，Rx．（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图象可由Rxxysin的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（18）（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD-1111DCBA的底面ABCD是菱形，且CBC1=CDC1=BCD=60．（I）证明：CC1⊥BD；（II）假定CD=2，1CC=23，记面BDC1为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（III）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明．（19）（本小题满分12分）设函数axxxf12，其中0a．（I）解不等式1xf；（II）求a的取值范围，使函数xf在区间,0上是单调函数．（20）（本小题满分12分）（I）已知数列nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；（II）设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列nc不是等比数列．（21）（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=tf；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=tg；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当4332时，求双曲线离心率e的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）C（2）B（3）D（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A（10）C（11）C（12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．（13）252（14）－5353x（15）n1（16）②③三、解答题（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：（Ⅰ）y=21cos2x＋23sinxcosx＋1=41（2cos2x－1）＋41＋43（2sinxcosx）＋1=41cos2x＋43sin2x＋45=21（cos2x·sin6＋sin2x·cos6）＋45=21sin（2x＋6）＋45——6分y取得最大值必须且只需2x＋6=2＋2kπ，k∈Z，即x=6＋kπ，k∈Z．所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=6＋kπ，k∈Z}——8分（Ⅱ）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图象向左平移6，得到函数y=sin（x＋6）的图象；（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x＋6）的图象；（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=21sin（2x＋6）的图象；（iv）把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin（2x＋6）＋45的图象；综上得到函数y=21cos2x＋23sinxcosx＋1的图象．——12分（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD=CD．又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，∴△C1BC≌△C1DC∴C1B=C1D，∵DO=OB∴C1O⊥BD，——2分但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1∴C1C⊥BD．——4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．在△C1BC中，BC=2，C1C=23，∠BCC1=60º，∴C1B2=22＋（23）2－2×2×23×cos60º=413——6分∵∠OCB=30º，∴OB=21BC=1．∴C1O2=C1B2－OB2=491413，∴C1O=23即C1O=C1C．作C1H⊥OC，垂足为H．∴点H是OC的中点，且OH=23，所以cos∠C1OC=OCOH1=33．——8分（Ⅲ）当1CCCD=1时，能使A1C⊥平面C1BD证明一：∵1CCCD=1，∴BC=CD=C1C，又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D．∴三棱锥C－C1BD是正三棱锥．——10分设A1C与C1O相交于G．∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，∴C1G∶GO=2∶1．又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形C1BD的中心，∴CG⊥平面C1BD．即A1C⊥平面C1BD．——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC1，∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C．——10分当1CCCD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，又BD⊥BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）不等式f（x）≤1即12x≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．所以，原不等式等价于.0,)1(122xaxx即.02)1(,02axax——3分所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0212aax}；当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．——6分（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．f（x1）－f（x2）=121x－122x－a（x1－x2）=1122212221xxxx－a（x1－x2）=（x1－x2）（11222121xxxx－a）．——8分（ⅰ）当a≥1时∵11222121xxxx1∴11222121xxxx－a0，又x1－x20，∴f（x1）－f（x2）0，即f（x1）f（x2）．所以，当a≥1时，函数f（x）在区间),0[上是单调递减函数．——10分（ii）当0a1时，在区间),0[上存在两点x1=0,x2=212aa，满足f（x1）=1，f（x2）=1，即f（x1）=f（x2），所以函数f（x）在区间),0[上不是单调函数．综上，当且仅当a≤1时，函数f（x）在区间),0[上是单调函数．——12分（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），将cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，——3分即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得61（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3．——6分（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．为证{cn}不是等比数列只需证22c≠c1·c3．事实上，22c=（a1p＋b1q）2=21ap2＋21bq2＋2a1b1pq，c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=21ap2＋21bq2＋a1b1（p2＋q2）．由于p≠q，p2＋q22pq，又a1、b1不为零，因此22cc1·c3，故{cn}不是等比数列．——12分（21）本小题主要考查由函数图