普通高等学校春季招生考试数学试题

普通高等学校春季招生考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossinlccS)'(21台侧)]sin()[sin(21sincos其中'c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长)]cos()[cos(21coscos球体的体积公式334RV球)]cos()[cos(21sinsin其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集体5,4,3,2,1M的子集个数是（A）32（B）31（C）16（D）15（2）函数)10()(aaaxfx且对于任意的实数yx,都有（A）)()()(yfxfxyf（B）)()()(yfxfxyf（C）)()()(yfxfyxf（D）)()()(yfxfyxf（3）1222limnnnnnCC（A）0（B）2（C）21（D）41（4）函数)1(1xxy的反函数是（A）)01(12xxy（B）)10(12xxy（C）)0(12xxy（D）)10(12xxy（5）已知1F、2F是椭圆191622yx的两焦点，过点2F的直线交椭圆于点A、B，若5||AB，则||||11BFAF（A）11（B）10（C）9（D）16（6）设动点P在直线1x上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰OPQRt，则动点Q的轨迹是（A）圆（B）两条平行直线（C）抛物线（D）双曲线（7）已知xxf26log)(，那么)8(f等于（A）34（B）8（C）18（D）21（8）若A、B是锐角ABC的两个内角，则点)cossin,sin(cosABABP在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A）30（B）45（C）60（D）90（10）若ba,为实数，且2ba，则ba33的最小值是（A）18（B）6（C）32（D）432（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①EDBM与平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量nS（万件）近似地满足)12,,2,1)(521(902nnnnSn按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（A）5月、6月（B）6月、7月（C）7月、8月（D）8月、9月第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_______________．（14）椭圆4422yx长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．（15）已知(1sinsinsin222、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于____________________．（16）已知m、n是直线，、、是平面，给出下列命题：①若mnm,,，则nn或；②若∥，,m，则m∥n；③若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；④若m，n∥m，且nn,，则n∥n且∥．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）方程022nmxx有实根，且2、m、n为等差数列的前三项．求该等差数列公差d的取值范围．（18）设函数)0()(babxaxxf，求)(xf的单调区间，并证明)(xf在其单调区间上的单调性．（19）已知)1(17zCzz且．（Ⅰ）证明0165432zzzzzz；（Ⅱ）设z的辐角为，求4cos2coscos的值．（20）已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于ABC的高CD上．ABVCaAB与,之间的距离为VCMh,．（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VCAMB平面；（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=)20(，求四面体MABC的体积．（21）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(xx，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？（22）已知抛物线)0(22ppxy．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若apAB求,2||的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求MNQRt的面积．普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A（2）C（3）D（4）C（5）A（6）B（7）D（8）B（9）C（10）B（11）C（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）242SS（14）2516（15）692（16）②④三、解答题（17）本小题主要考查等差数列，一元二次方程与不等式的基本知识．考查综合运用数学基础知识的能力．满分12分．解：依题意，有dndm22,2，……2分由方程有实根，得0242nm，即0)22(8)2(2dd，……6分整理，得012122dd，……8分解得346346dd或，∴),346[]346,(d．……12分（18）本小题主要考查函数的基本性质，考查推理能力．满分12分．解：函数bxaxxf)(的定义域为),(),(bb．),()(bxf在内是减函数),()(bxf在内也是减函数．……4分证明),()(bxf在内是减函数．取21,xx),(b，且21xx，那么bxaxbxaxxfxf221121)()())(())((2112bxbxxxba，……6分∵0))((,0,02112bxbxxxba，∴0)()(21xfxf，即),()(bxf在内是减函数．……9分同理可证),()(bxf在内是减函数．……12分（19）本小题考查复数的基本概念和运算．满分12分．解：（Ⅰ）由)1(65432zzzzzzz765432zzzzzzz654321zzzzzz，得0)1)(1(65432zzzzzzz．……4分因为1z，所以0165432zzzzzz．……6分（Ⅱ）因为1||,17zz可知，所以1zz，而17z，所以16zz，zz6，同理3452,zzzz，65342zzzzzz．由（Ⅰ）知165342zzzzzz，即14242zzzzzz，所以42zzz的实部为21，……8分而z的辐角为时，复数42zzz的实部为4cos2coscos，所以214cos2coscos……12分（20）本小题考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质证明线面关系的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知，ABCABCDNABCVNABCD平面平面,,,，∴ABVN．∴VNCAB平面．……2分又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且CDABDMAB,，∴∠MDC为二面角CABM的平面角．……4分（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在DMCVNC与中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=90，∴∠DMC=∠VNC=90．故有VCABVCDM又,，……6分∴AMBVC平面．……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），VCMABDVCMDABMD,,,且，∴hMD．又∵∠MDC．在MDCRt中，tghCM．……10分ABMCMABCVV三棱锥四面体ahtghSCMABM213131tgah261．……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[xxxxy，……4分整理得)10(20020602xxxy．……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须.10,01000)12.1(xy即.10,020602xxx……9分解不等式得310x．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足33.00x．……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线l的方程为：axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax．……2分设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa……4分又axyaxy2211,，∴221221)()(||yyxxAB]4)[(221221xxxx)2(8app．……6分∵0)2(8,2||0apppAB，∴papp2)2(80．解得42pap．……8分（Ⅱ）设),(33yxQ，由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(221213．……10分∴22222)0()(||ppapaQM．又MNQ为等腰直角三角形，∴22||21pQMSMNQ．……14分