普通高等学校春季招生考试数学试卷

普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题（本大题满分048分）1.计算：3423limnnn.2.方程1)12(log3x的解x.3.函数]1,0[,53)(xxxf的反函数)(1xf.4.不等式0121xx的解集是.5.已知圆)0()5(:222rryxC和直线053:yxl.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是.6.已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.7.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.8.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为.9.在△ABC中，已知5,8ACBC，三角形面积为12，则C2cos.10.若向量ba、的夹角为150，4,3ba，则ba2.11.已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于BA、两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为.12.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列naaa,,,21满足naaa21，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分016分）13．抛物线xy42的焦点坐标为（）A．)1,0(.B．)0,1(.C．)2,0(.D．)0,2(.14.若bacba,R、、，则下列不等式成立的是（）A．ba11.B．22ba.C．1122cbca.D．||||cbca.15.若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的（）A．充分不必要条件.B．必要不充分条件.C．充要条件.D．既不充分也不必要条件.16.若集合131,11,2,01AyyxxByyxx，则A∩B等于（）A．]1,(.B．1,1.C．.D．}1{.三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.(本题满分12分)在长方体1111DCBAABCD中，已知3,41DDDCDA，求异面直线BA1与CB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.(本题满分12分)已知复数w满足i(i)23(4ww为虚数单位），|2|5wwz，求一个以z为根的实系数一元二次方程.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数,2,cos26sin2)(xxxxf.（1）若54sinx，求函数)(xf的值；（2）求函数)(xf的值域.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、764,0M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D.观测点)0,6()0,4(BA、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点BA、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2xxxf.（1）在区间]6,2[上画出函数)(xf的图像；（2）设集合),6[]4,0[]2,(,5)(BxfxA.试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当2k时，求证：在区间]5,1[上，3ykxk的图像位于函数)(xf图像的上方.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.第3小题满分6分.已知数列3021,,,aaa，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,aaa是公差为d的等差数列；302120,,,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.（1）若4020a，求d；（2）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,aaa是公差为3d的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.43.2.2.3.8,5),5(31xx.4.21,1.5.)10,0(.6.4xx.7.48.8.316.9.257.10.2.11.4.12.)1(2121nmnaaamaaanm和)1(2121nmnaaamnaaannmm二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号BCAB三．（第17至22题）17.[解法一]连接DA1，DBACBDA111,//为异面直线BA1与CB1所成的角.……4分连接BD，在△DBA1中，24,511BDDABA，……6分则DABABDDABADBA112212112cos259552322525.……10分异面直线BA1与CB1所成角的大小为259arccos.……12分[解法二]以D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.……2分则)0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11CBBA、、、，得)3,0,4(),3,4,0(11CBBA.……6分设BA1与CB1的夹角为，则259cos1111CBBACBBA，……10分BA1与CB1的夹角大小为259arccos，即异面直线BA1与CB1所成角的大小为259arccos.……12分18.[解法一]i2i21i34,i34)i21(ww，……4分i3|i|i25z.……8分若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共轭虚根i3z.10,6zzzz，所求的一个一元二次方程可以是01062xx.……12分[解法二]设ibawR)(ba、baba2i2i34i，得,23,24abba,1,2bai2w，……4分以下解法同[解法一].19.[解]（1）53cos,,2,54sinxxx，……2分xxxxfcos2cos21sin232)(……4分xxcossin353354.……8分（2）6sin2)(xxf，……10分x2，6563x，16sin21x，函数)(xf的值域为]2,1[.……14分20.[解]（1）设曲线方程为7642axy，由题意可知，764640a.71a.……4分曲线方程为764712xy.……6分（2）设变轨点为),(yxC，根据题意可知)2(,76471)1(,125100222xyyx得036742yy，4y或49y（不合题意，舍去）.4y.……9分得6x或6x（不合题意，舍去）.C点的坐标为)4,6(，……11分4||,52||BCAC.答：当观测点BA、测得BCAC、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.……14分21.[解]（1）……4分（2）方程5)(xf的解分别是4,0,142和142，由于)(xf在]1,(和]5,2[上单调递减，在]2,1[和),5[上单调递增，因此,142]4,0[142,A.……8分由于AB,2142,6142.……10分（3）[解法一]当]5,1[x时，54)(2xxxf.)54()3()(2xxxkxg)53()4(2kxkx436202422kkkx，……12分,2k124k.又51x，①当1241k，即62k时，取24kx，min)(xg6410414362022kkk.064)10(,64)10(1622kk，则0)(minxg.……14分②当124k，即6k时，取1x，min)(xg＝02k.由①、②可知，当2k时，0)(xg，]5,1[x.因此，在区间]5,1[上，)3(xky的图像位于函数)(xf图像的上方.……16分[解法二]当]5,1[x时，54)(2xxxf.由,54),3(2xxyxky得0)53()4(2kxkx，令0)53(4)4(2kk，解得2k或18k，……12分在区间]5,1[上，当2k时，)3(2xy的图像与函数)(xf的图像只交于一点)8,1(；当18k时，)3(18xy的图像与函数)(xf的图像没有交点.……14分如图可知，由于直线)3(xky过点)0,3(，当2k时，直线)3(xky是由直线)3(2xy绕点)0,3(逆时针方向旋转得到.因此，在区间]5,1[上，)3(xky的图像位于函数)(xf图像的上方.……16分22.[解]（1）3,401010.102010ddaa.……4分（2）)0(11010222030ddddaa，……8分432110230da，当),0()0,(d时，307.5,a.……12分（3）所给数列可推广为无穷数列na，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列，当1n时，数列)1(1011010,,,nnnaaa是公差为nd的等差数列.……14分研究的问题可以是：试写出)1(10na关于d的关系式，并求)1(10na的取值范围.……16分研究的结论可以是：由323304011010ddddaa，依次类推可得.1),1(10,1,11101101)1(10dndddddannn当0d时，)1(10na的取值范围为),10(等.……18分