解析几何综合练习

解析几何综合练习一、填空题1．在解析几何的学习中，借助于平面直角坐标系，把曲线插上了方程的“翅膀”，用代数的方法研究图形的性质，使“数”与“形”达到完美的结合，这种方法在数学学习中我们常常叫做__________的思想方法。2．已知集合2{(,)|3}1yAxyx，集合{(,)|1}Bxyyax，若AB，则a________。3．直线l经过点(1,2)A且与圆心在原点半径为1的圆面积相切，则直线l的方程是_______。4．已知定点(1,1)M，动点(,)Pxy满足条件||1MP，点Q与点P关于直线yx对称，则点Q的轨迹是______。5．斜率为2的直线l被曲线22:236Cxy截得的弦长为4，则该弦的中点的坐标是___________________。6．椭圆22221(0)xyabab的两个焦点为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，则△AF1B的周长是__________。7．以椭圆2212516xy的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______。8．双曲线0122ytx的一条渐进线与直线012yx垂直，则________t。9．双曲线的中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为30xy，且双曲线经过点（2，1），则该双曲线的焦点坐标是________。10．抛物线24yx的弦AB垂直于x轴，若AB长为43，则焦点到AB的距离是________。11．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线24yx的焦点，点P是抛物线上的一动点，则||||PAPF取得最小值时点P的坐标是______。12．设F1、F2是双曲线224xy的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是_______。二、选择题13．已知集合2222{(,)|20},{(,)|1}169xyMxyxyxNxy，则MN（）（A）（B）M（C）N（D）以上结论均错14．已知椭圆的焦点是F1、F2，点P是椭圆上一动点，如果延长F1P到Q，使得2||||PQPF，那么动点Q的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线15．双曲线221259xy上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（）（A）22或2（B）7（C）22（D）216．设坐标原点为O，抛物线22yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB（）（A）34（B）34（C）3（D）-3三、解答题17．求下列直线的方程：（1）直线1:10lxy绕着它与x轴的交点，按逆时针方向旋转75后所得到的直线；（2）与直线2:2360lxy关于y轴对称的直线。18．已知圆心在x轴上，半径是5，且以点A(5,4)为中点，的弦长是25，求这个圆的方程。19．设双曲线2222:1(0).4xyCaaa（1）确定实数a的取值范围；（2）若点P在双曲线C上，21FF、是两个焦点，2PF与双曲线实轴所在直线垂直，且21PFF的面积为6，求实数a的值。20．过点A(-1,0)斜率为k的直线l与抛物线2:4Cyx交于P、Q两点，若抛物线C的焦点F与P、Q、R三点构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。21．已知曲线C的方程为22(4)1().kxkykkR（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（2）当k=6时，曲线C上是否存在两点P、Q关于直线1yx对称。若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由。22．设111222(,),(,),,(,)(3,*)nnnPxyPxyPxynnN是二次曲线C上的点，且2221122||,||,,||nnaOPaOPaOP构成一个公差为(0)dd的等差数列，其中O是坐标原点。记12.nnSaaa（1）若C的方程为221,39xyn，点1(3,0)P及3162S，求点3P的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为22(0)ypxp，点1(1,1)P，对于给定的正整数n，证明：22212(),(),,()nxpxpxp成等差数列；（3）若C的方程为22221(0)xyabab，点1(,0)Pa，对于给定的正整数n，当公差d变化时，求nS的最小值。解析几何综合练习（答案）一、填空题1．在解析几何的学习中，借助于平面直角坐标系，把曲线插上了方程的“翅膀”，用代数的方法研究图形的性质，使“数”与“形”达到完美的结合，这种方法在数学学习中我们常常叫做_____数形结合_____的思想方法。2．已知集合2{(,)|3}1yAxyx，集合{(,)|1}Bxyyax，若AB，则a____3或1____。3．直线l经过点(1,2)A且与圆心在原点半径为1的圆面积相切，则直线l的方程是____3450xy或1x___。4．已知定点(1,1)M，动点(,)Pxy满足条件||1MP，点Q与点P关于直线yx对称，则点Q的轨迹是___以点(1,1)为圆心，1为半径的圆___。5．斜率为2的直线l被曲线22:236Cxy截得的弦长为4，则该弦的中点的坐标是____210210(,)515或210210(,)515____。6．椭圆22221(0)xyabab的两个焦点为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，则△AF1B的周长是_____4a_____。7．以椭圆2212516xy的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是___221916xy___。8．双曲线0122ytx的一条渐进线与直线012yx垂直，则1________4t。9．双曲线的中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为30xy，且双曲线经过点（2，1），则该双曲线的焦点坐标是____2323(,0),(,0)33____。10．抛物线24yx的弦AB垂直于x轴，若AB长为43，则焦点到AB的距离是______31____。11．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线24yx的焦点，点P是抛物线上的一动点，则||||PAPF取得最小值时点P的坐标是___（1，2）___。12．设F1、F2是双曲线224xy的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是___224xy____。二、选择题13．已知集合2222{(,)|20},{(,)|1}169xyMxyxyxNxy，则MN（A）（A）（B）M（C）N（D）以上结论均错14．已知椭圆的焦点是F1、F2，点P是椭圆上一动点，如果延长F1P到Q，使得2||||PQPF，那么动点Q的轨迹是（A）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线15．双曲线221259xy上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（A）（A）22或2（B）7（C）22（D）216．设坐标原点为O，抛物线22yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB（B）（A）34（B）34（C）3（D）-3三、解答题17．求下列直线的方程：（1）直线1:10lxy绕着它与x轴的交点，按逆时针方向旋转75后所得到的直线；（2）与直线2:2360lxy关于y轴对称的直线。答案：（1）3(1)yx，（2）2360xy；18．已知圆心在x轴上，半径是5，且以点A(5,4)为中点，的弦长是25，求这个圆的方程。答案：22(7)25xy或22(3)25xy；19．设双曲线2222:1(0).4xyCaaa（1）确定实数a的取值范围；（2）若点P在双曲线C上，21FF、是两个焦点，2PF与双曲线实轴所在直线垂直，且21PFF的面积为6，求实数a的值。解：（1）由题意可得：22(4)0aa，解得02a，则实数a的取值范围是(0,2).（2）由（1）可知双曲线的标准方程为22221(02)4yxaaa，则双曲线的两个焦点分别为1(0,2)F、2(0,2)F，由题意可设点1(,2)Px，且2122414xaa，即14()xaa，121211||||2FPFSFFx，12||4FF，42()6aa，得1.a则实数a的值是1.20．过点A(-1,0)斜率为k的直线l与抛物线2:4Cyx交于P、Q两点，若抛物线C的焦点F与P、Q、R三点构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。解：设直线l的方程为(1)(0)ykxk，代入24yx得222(4)0kxkxk，设P、Q坐标分别为11(,)xy、22(,)xy，R的坐标为(,)xy，再由0，得201k，12122442,xxyykk，因为线段PQ与RF的中点相同，所以24124xkyk，消去k，得24(3)yx，由201k，可得1x。故所求点R的轨迹方程是24(3)(1).yxx21．已知曲线C的方程为22(4)1().kxkykkR（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（2）当k=6时，曲线C上是否存在两点P、Q关于直线1yx对称。若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由。解：（1）k的取值范围是(0,2)(2,4)；（2）当k=6时，曲线方程为22627xy，表示双曲线，若存在两点P、Q关于直线1yx对称。设直线PQ的方程为yxm，由22627yxmxy得2244270xmxm，设线段PQ的中点为00(,)Mxy，则003,22mxym；又点M在直线1yx上，所以311,222mmm，可验证此时0.因此，存在满足题设条件的两点P、Q，直线PQ的方程是1.2yx22．设111222(,),(,),,(,)(3,*)nnnPxyPxyPxynnN是二次曲线C上的点，且2221122||,||,,||nnaOPaOPaOP构成一个公差为(0)dd的等差数列，其中O是坐标原点。记12.nnSaaa（1）若C的方程为221,39xyn，点1(3,0)P及3162S，求点3P的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为22(0)ypxp，点1(0,0)P，对于给定的正整数n，证明：22212(),(),,()nxpxpxp成等差数列；（3）若C的方程为22221(0)xyabab，点1(,0)Pa，对于给定的正整数n，当公差d变化时，求nS的最小值。解：（1）可解得P3的坐标为(310,3)；（2）若1(*)knkN，则2222222,2(1),()(1)(1)kkkkkkkypxxpxkdxppkdxykd，所以22212(),(),,()nxpxpxp是首项为2p，公差为d的等差数列。（3）原点O到曲线C上各点的最小距离为b，最大距离为a.221||,0aOPad，且222||(1)nnaOPandb，220.1badn2(1)(1)3,0,22nnnnnnSnad在22[,0)1ban上单调递增，故nS的最小值为222(1)21nnbanan，即为22().2nab