江苏省高考数学立体几何最后押题

2006年江苏省高考数学立体几何最后押题1．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB＝2CD，AA1＝AD＝CD＝1.求：（1）AD与BD1所成的角；（2）AB与面BB1D1D所成的角：（3）求面A1DD1与面BCD1所成锐二面角的大小.2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面B1AC与底面ABCD垂直，B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，AD//BC，且AB=BC=2AD.（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；（2）求异面直线AA1与CD所成角的大小；（3）求AC与平面AB1B所成角的大小。D1ABCDA1B1C1ABCDA1B1C1D13．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，BD1⊥AD，AA1＝AD＝2，∠ADD1＝60°，底面ABCD为菱形，二面角D1－AD－B的大小为120°.(Ⅰ)求BD1与底面ABCD所成角的大小;(Ⅱ求二面角A－BD1－C的大小.ABCDA1B1C1D12006年江苏省高考数学立体几何最后押题参考答案1．解：(1)过B作BE//AD，且BE=AD，连CE、D1E，则∠D1BE为AD与D1B所成角或其补角，在Rt△D1DE中，求得D1E＝5，在△ABD中由余弦定理得BD＝3，在Rt△D1BD中D1B=2，在△D1BE中，D1B2＋BE2＝D1E2，∴∠D1BE＝90°，所以AD与D1B成的角为900.（也可以通过证明线面垂直来证明）（2）由（1）AD⊥D1B，又AD⊥D1D，∴AD⊥平面D1BD，所以∠ABD为AB平面D1BD所成角，在Rt△ABD中，∠ABD=300（3）延长AD、BC相交于点M，连接D1M，则D1M为平面D1AD与平面D1BC的交线，易证BD⊥平面D1AD，过D作DN⊥D1M，连BN，则由三垂线定理，得BN⊥D1M，∴∠BND为平面D1AD与平面D1BC所成的角，在△ABM中，AB＝2CD，∴D为AM的中点，DM＝AM＝1，在Rt△D1DM中，D1D＝DM＝1，D1M＝2，∴DN⊥D1M，∴DN＝12D1M＝22在Rt△BDN中，BD＝3，DN＝22，∴tan∠BND＝BDDN＝6.方法二：（1）（向量法）建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，A(32，－12，0）B(32，32，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，AD→＝(－32，12，0），D1B→＝(32，32，－1)，∴AD→·D1B→＝－34＋34＋0＝0，∴AD⊥D1B，故AD与D1B所成的角为90°.（2）同法一（3）由（1）知AD⊥D1B，又D1D⊥平面ABCD，∴AD⊥BD，平面D1AD⊥平面ABCD，∴BD⊥平面D1AD，故平面D1AD的法向量为n1＝BD→＝(－32，－32，0)，设平面D1BC的法向量为n2＝(x，y，1)，由n2⊥BC，n2⊥D1B，BC→＝(－32，－12，0），D1B→＝(32，32，－1)，得－32x－12y＝0，32x＋32y－1＝0，x＝－13，y＝1，∴n2＝(－13，1，1)，cosn1，n2＝n1·n2|n1|·|n2|＝－13·73＝－77,所以平面D1AD与平面D1BC所成锐二面角的大小为arccos77.2．解：方法一（1）证明：作B1O⊥AC交AC于点O，连接OB.∵面B1AC⊥ABCD，所以B1O⊥ABCD，∵侧棱B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，D1ABCDA1B1C1MNxyzD1ABCDA1B1C1EMN∴∠B1AO=∠B1BO=∠B1CO=45°，∴△B1AO≌△B1BO≌△B1CO，所以B1A=B1B=B1C，OA=OB=OC，∴AC是△ABC外接圆的直径，所以AB⊥BC，又AD//BC，AD≠BC，∴四边形ABCD是直角梯形.（2）分别取BC中点M，B1C中点N，连结AM，AN，MN，则MN//B1B∥A1A，又AD//BC，AD=21BC=MC，所以，ADCM为平行四边形，所以AM//DC，所以∠AMN是异面直线AA1与CD所成角.由（1），△B1AO，△B1BO，△B1CO是全等的等腰直角三角形，AB=BC，所以，△B1AC，△BAC是全等的等腰直角三角形.设B1O=a，则MN=21B1B=a22，AM=,1022aaBMAB因为AM=AN，所以在等腰三角形AMN中，.10521cosAMMNAMN所以，异面直线AA1与CD所成角为.105arccos（3）取B1B中点E，连结AE、CE、OE，由（2）知AE⊥B1B，CE⊥B1B，∴B1B⊥平面AEC，∴平面B1AB⊥平面AEC，且交线就是AE，∴AC在平面B1AB上的射影是AE，∴∠CAE是AC与平面B1AB所成的角在等腰直角三角形B1OB中，E是B1B的中点，∴1222.,tan,222OEOEBOAORtAOEOAEAO在中∴直线AC与平面B1AB所成角的大小是.22arctan方法二（1）证明：作B1O⊥AC交AC于点O，连OB，∵面B1AC⊥面ABCD，∴B1O⊥面ABCD,∵侧棱B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，∴∠B1AO=∠B1BO=∠B1CO=45°，∴△B1AO≌△B1BO≌△B1CO，∴B1A=B1B=B1C，OA=OB=OC=OB1，又AB=BC，所以OB⊥AC，∴OA、OB、OB1所在射线分别作为非负x轴、非负y轴、非负z轴建立空间直角坐标系，设OB1=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），B1（0，0，a），∴,0)0,,()0,,(22aaaaaaBCAB∴,,//.,BCADBCADBCABBCAB又即∴四边形ABCD是直角梯形（2）由（1），△B1AO，△B1BO，△B1CO是全等的等腰直角三角形，∴△B1AC，△BAC是全等的等腰直角三角形.则11131(,,0),(,,0),(0,,),2222DaaCDaaBBaa2111152cos,,10||||1022aBBCDBBCDBBCDaa∴异面直线B1B，CD所成角的大小是.105arccos（3）设),,(111zyxn是平面B1AB的法向量.则由111110000axaznBAaxaynAB得，取),1,1,1(,11nx得则,33232||||cosaaACnACnACn设AC与平面AB1B所成角的大小为，则,36,sincosACnABCDA1B1C1D1OEMNABCDA1B1C1D1OEMNxyz所以AC与平面AB1B所成角的大小是36arccos.3．(Ⅰ)解：如图,作D1O⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E,连结PE.则∠D1BO为BD1与底面ABCD所成的角。∵AD⊥D1B,∴AD⊥OB,∵D1A=D1D,∴OA=OD,于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以D1E⊥AD.由此知∠D1EB为二面角D1－AD－B的平面角,∴∠D1EB=120°,∠D1EO=60°由已知可求得D1E=3，，BE＝3，∴D1O=D1E·sin60°＝3×32＝32，OE＝12D1E＝32，OB＝OE＋EB＝323，tan∠D1BO＝D1OOB=33，∠D1BO＝30°，即BD1与底面ABCD所成角的大小为30°.(Ⅱ)解法1：如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.D1(0,0,32)，B(0,332,0)，D1B中点G的坐标为(0,334,0)，连结AG.又知A(1,32,0),C(－2,32,0)，由此得到：GA→＝(1，－34，－34)，D1B→=(0，332，－32)于是有GA→·D1B→＝0，BC→·D1B→＝0所以GA→⊥D1B→，BC→⊥D1B→，GA→与BC→的夹角θ等于所求二面角的平面角,于是cosθ=GA→·BC→|GA→|·|BC→|＝－277，所以所求二面角的大小为－arccos277.注：也可先求两个平面的法向量，转化为两法向量的夹角。解法2：如图,取D1B的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥D1B,FG//BC,FG=12BC.∵AD⊥D1B,∴BC⊥D1B,FG⊥D1B,∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面D1OB,∴AD⊥EG.又∵D1E=BE,∴EG⊥BD1,且∠D1EG=60°.在Rt△D1EG中,EG=D1E·cos60°=32.在Rt△D1EG中,EG=12AD=1.于是tan∠GAE=EGAE=32,又∠AGF=－∠GAE.所以所求二面角的大小为－arctan32.ABCDA1B1C1D1OEABCDA1B1C1D1OxyzEG