集合与简易逻辑2

专题一集合与简易逻辑一、新题型内核表解主干知识点知能转化点(1)集合、子集、全集、补集的概念(2)空集和全集的意义(3)元素与集合的关系；集合与集合的关系(4)集合的表示法(5)交集与并集的性质和运算(6)逻辑联结词“或”、“且”、“否”的含义(7)四种命题及相互关系(8)充要条件(1)集合中的元素的三个特性，是判断一组对象能否组成一个集合的依据(2)区分有关术语和符号，用符号语言正确表示有关的集合(3)利用数形结合(包括韦恩图及数轴等)的思想方法，图示各集合间的关系并进行有关集合间的运算(4)充要条件的判断及用反证法证题解题关键点常见障碍点(1)理解集合概念，弄清元素与集合、集合与集合的关系(2)弄清交、并集的区别与联系(3)“AB”“A∩B=A”“A∪B=B”“AA∩B”(4)结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决“简易逻辑”中的问题(5)“pq”{x|p}{x|q}”“{x|q}{x|p}”“p是q的充分条件”“q是p的必要条件”(1)容易混淆∈与的区别(2)容易混淆a与{a}的区别(3)容易混淆空集与集合{0}的区别(4)容易忽视空集为任何集合的子集、非空集合的真子集这一特例(5)容易遗漏0为自然数的特例(6)容易混淆充分条件与必要条件的区别(7)容易混淆命题的否命题与命题的否定的区别二、新题型巧解点悟1．化归与转化【例1】已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}．集合C满足：①若将C中的各元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；②若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变为B的一个子集；③C中的元素可以是一个一元二次方程的不等实数根．试根据以上条件，用列举法表示集合C．【分析】本小题重点检测文字语言向符号语言转换的能力．条件③即就是集合C中的元素个数为2．从子集的定义出发，并将条件①、②分别转换成另一种表述方式，可使问题顺利求解．【解】将①换一种说法，即若将A中的各个元素均加2，得新集合A1，则CA1，即C{4，5，7，8，10}；将②换一种说法，即若将B中的各个元素均减3，得新集合B1，则CB2，即C{-2，0，2，4，7}．于是C({4，5，7，8，10}∩{-2，0，2，4，7})={4，7}．又由条件③知，集合C中的元素恰有两个，于是C={4，7}．【点悟】①解题关键点是正确地将文字语言翻译成集合语言（或符号语言）．②解题规律是当直接求解不易时，可考虑问题的反面或换一种表述方式，如本题中将“C1为A的子集”换为“C1A”，再换为“CA1”；将“C2为B的子集”换为“C2B”，再换为“CB2”，这样迅速地破解了问题．③本题的一个拓广是：将条件③去掉，则问题便是求集合{4，7}的非空．．子集（想一想：为什么集合C不能为空集），答案为{4}，或{7}或{4，7}．【例2】设A=}0183{2xxx，B=}0{2baxxx．（1）若A∩B=B，试求实数a，b所满足的条件；（2）若A∪B=B，试求实数a，b所满足的条件．【分析】利用A∩B=B与BA的等价性及A∪B=B与AB的等价性将问题进行转化，注意分类讨论思想的运用．【解】解方程01832xx，得x=-3或x=6，于是A={-3，6}．（1）因A∩B=B，故BA，即B{-3，6}，从而B=，或B={-3}，或B={6}，或B={-3，6}．若B=，则方程02baxx无实数解，于是⊿=042ba；若B={-3}，即方程02baxx有相等的实数根且该根为x=-3．从而由韦达定理可得a=6，b=9；若B={6}，即方程02baxx有相等的实数根且该根为x=6．从而由韦达定理可得a=-12，b=36；若B={-3，6}，即方程02baxx的两根为x=-3和x=6．从而由韦达定理可得a=-3，b=-18．综合上面的讨论可知，当A∩B=B时，042ba或a=6，b=9或a=-12，b=36或a=-3，b=-18．（2）因A∪B=B，故AB，即{-3，6}B．又B为一元二次方程的解集，故B中的元素最多只有两个，从而A=B，于是a=-3，b=-18．【点悟】①解题关键点是善于将A∪B=B等价转化为AB，将A∩B=B等价转化为BA．②解题规律是当已知方程02baxx的两不等实数根时，除可使用韦达定理求解a、b外，还可直接将两根均代入方程得到关于a、b的二元方程组，然后求解方程组得出a、b的值；如方程02baxx只有唯一的一个实数根m，则：实数根m满足方程且根的判别式为0．另外第（1）小题中的B={-3，6}的情形，也可这样求解：因B=A，故方程x2-3x-18=0与方程02baxx等价，利用对应项系数成比例即得a=-3，b=-18．③解题易错点是遗漏空集亦满足性质：A∩=；另外结论的表示混乱，如将第（1）小题的结论表示成a=6或a=-12或a=-3，b=9或b=36或b=-18，及042ba．2．定义法【例3】设集合M={直线}，P={圆}，则集合M∩P中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．0或1或2【分析】本题考查集合的交集与并集的运算，是一道概念性极强的试题，可使用定义法求解．【解】因集合M={直线}，P={圆}，集合M∩P中的元素既是直线且又是圆，显然这样的元素不存在，从而M∩P=，答案选A．【点悟】①解题关键点是正确理解集合的交集与并集的运算及M∩P的意义．集合的交集是由既属于集合A且．又属于集合B的公共元素组成的集合，它强调的是“且”的关系；并集是由属于A或．属于集合B之一的元素组成的集合，它强调的是“或”的关系．②解题规律：定义法解题的一般步骤为：（ⅰ）分析和研究所给问题中已知的条件和待求的解题目标；（ⅱ）回忆有关概念的内涵和要点；（ⅲ）用定义去指导解题活动．③解题易错点是将M∩P误认为是直线与圆的交点个数问题，从而误选D．本题若改为cbacbyaxyxM,,,0),{(为常数，且a,b不同时为零}，}0,),{(222rryxyxP，则M∩P中的元素个数应为0或1或2．【例4】已知集合A={a，b，c，d}，B={a2，b2，c2，d2}，其中AN*，BN*，abcd，且A∩B={a,d}，a+d=10．（1）求a、d；（2）若A∪B中所有元素的和为124，你能确定集合A、B中的所有元素吗？【分析】（1）根据交集的意义及其题设，求解出a，d．（2）由A∩B中的元素个数为2，而A与B的元素个数均为4个可知：A∪B中共有6个元素，且其中有四个元素分别为1，3，9，81，而另两个元素分别为x与x2．一个未知数，还有一个和的条件，可以求解x，进而可求得集合A与B．【解】（1）因A∩B={a,d}，且abcd，于是a=a2，解得a=1（a=0，不合，舍去），从而d=9．（2）A={1,b,c,9}，B={1,b2,c2,81}．因A∩B={1,9}，故3∈A，9∈B．于是可设A={1，3，9，x}，B={1，9，81，x2}，其中x9．依题设有1+3+9+x+81+x2=124，解得x=5（x=-6，不合，舍去）．故A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．【点悟】①解题关键点是熟练掌握利用集合元素的三大特性（即集合元素的互异性、无序性、确定性）进行解题．②解题规律：对于递进型的综合问题，应采取各个“击破”，“分而治之”，直至“歼灭”的办法．③解题易错点求集合的并运算，不是两个集合所有元素的简单迭加；另外容易忽视集合元素的互异性，即相同的元素在一个集合中只算一个元素．【例5】在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：图1(1)中，开关A闭合是灯泡B亮的条件；图1(2)中，开关A闭合是灯泡B亮的条件；图1(3)中，开关A闭合是灯泡B亮的条件；图1(4)中，开关A闭合是灯泡B亮的条件．【分析】首先根据电路的串并联知识，分析开关A闭合是否有灯泡B亮，然后根据充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件的含义作答．【解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；反之，灯泡B亮，开关A闭合，于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件．（2）仅当开关A、C都闭合时，灯泡B才亮；反之，灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要而不充分条件．（3）开关A不起任何作用，故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件．（4）开关A闭合，灯泡B亮；但灯泡B亮，只须开关A或B闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分而不必要条件．【点悟】①解题关键点是正确理解充分与必要条件的含义，读懂图形语言，并掌握一些物理学知识特别是简单的电学知识，进行电路图的正确分析．②“学以致用”已不是什么口号．重视知识的综合，体现时代的特点，渗透素质教育的内含，是一种大势所趋．③解题易错点是对条件的充分与必要性区分不清，不能正确地读懂电路图．3．数形结合法【例6】（1）已知U为全集，集合M、NU，若M∩N=N，则（）AUMUNB．MUNCUMUND．MUN（2）设U是全集，集合P、Q满足PQ，则下面的结论中UMNUQP图2图3错误的是（）A．P∪Q=QB．(UP）∪Q=UC．P∩(UQ)=D．(UP)∩(UQ)=UP【分析】本题中两小题是一对姊妹题，一对高考题，第（1）小题为1995年全国高考题，检测根据集合的交并关系判断集合间的包含及包含于关系；第（2）小题为1994年上海市高考题，检测由集合的包含关系判断集合的交并关系．两小题均涉及全集、补集、子集及真子集、集合的交并补运算，题中均未给出具体的集合，因而它们不仅全面检测了考生对集合概念理解和掌握程度，也检测了考生的抽象能力，是两道“题小功能大”的好题．对于第（1）小题，作出韦恩图如图2，由图易UMUN正确，从而答案选C；对于第（2）小题，作出韦恩图如图3，由图可知，仅D选项的内容错误，从而答案选D．【点悟】①解题关键点是借助韦恩图法，直接观察得到结论．②解题规律是当问题比较抽象时，可以将问题特殊化、具体化，不妨取些特例，即用选择题的特例排除法来迅速得到答案．如对于第（1）小题，可令U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={1，2}，UM={4}UN={3，4}UMUN成立，故答案非C莫属；对于第（2）小题，亦可令U={1，2，3，4}，Q={1，2，3}，P={1，2}，则错误结论D跃然纸上．③解题易错点是读审题不认真仔细，不能注意提示用语，如第（1）小题选的是正确项，而第（2）小题选的则是错误项；另外不能正确理解集合语言及符号，搞错概念的内涵与外延．【例7】已知集合A=})1(21)1(21{22aaxx，B={x︱3a+1≤x≤2}，试问是否存在实数a使得AB成立？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】本题检测解绝对值不等式的能力，对集合间的包含关系的理解和转化能力，以及对字母的分类讨论能力，是一道小型综合题．解题时，可先对集合A进行化简，然后根据集合间的关系利用数形结合的办法，画出数轴，求出适合题意的a的值，或说明其值不存在．【解】根据︱x︱≤a（a0）的解集可将A中的元素化为222)1(21)1(21)1(21aaxa．解得122axa．故A={x︱122axa}．因AB，画出如图4的示意图，由此得212132aaa解得1a．于是符合条件的实数a存在，且1a．【点悟】①解题关键点是正确理解条件“AB”，画出数轴，以形助数，从而顺利破解问题．②解题规律是一般为先假设问题是存在的，然后通过计算、证明、推理等手段，能求出解的可下结论是存在的，不能求出其解的可下结论是不存在的．其解题过程和一般非开放型问题的求解相类似．③解题易错点是认为有参数的问题，都需要讨论，而这里并非如此．4．分类讨论法【例8】已知三个集合A={x∣x2-3x+2=0}，B={x∣x2-ax+a=1}，C={x∣x2-bx+2=0}．试问同时满足BA且CA的实数a和bxAB2a3a+1