极限与导数、复数(冲剌卷)

高三百日冲刺·强化训练之《极限与导数、复数》2006.3一、选择题：⒈函数在32()fxxaxx在1x处的切线与直线2yx平行，则A的值（）A.0B.1C.2D.32．如果()fx为偶函数，且导数()fx存在，则'(0)f的值为（）A.2B.1C.0D.-13．lim1x2212()3243xxxx=（）A.12B.12C.16D.164．已知2()2'(1)fxxxf，则'(0)f等于（）A.2B.0C.-2D.-4⒌复数2004232()1123iii的虚部为（）A.1B.1C.iD.i⒍若55ln,33ln,22lncba，则（）A.abcB.cbaC.cabD.bac⒎设函数()fx2(0)(0)xexaxx为R上的连续函数，则a等于（）A.-1B.0C.1D.2⒏已知函数32()1fxxax在区间(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（）A.3aB.3aC.3aD.03a⒐方程221(1)1nxlxxx在上[0,)的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4⒑设()fx在点x处可导，a、b为非零常数，则lim0x()()fxaxfxbxx等于（）A.'()fxB.()'()abfxC.()'()abfxD.'()2abfx⒒函数极限0limxx020lnlnxxxx的值为（）A.02xB.012xC.02xD.012x⒓设函数()fx在定义域内可导，()yfx的图象如右图所示，则导函数'()yfx可能为下列图中所示图象的（）A.B.C.D.二．填空题：⒔函数232lnyxx的单调减区间为。⒕函数322yxaxbxa在1x处有极值10，则a。⒖设001()'()2fxfx，则lim0x0(3)fxxx。⒗有如下四个命题：①函数()1fxx在1x处连续且'(1)1f；②()fx在0x处可导()gx在0x处不可导，则()()fxgx在0x处一定不可导；XY0XY0XY0XY0XY0③函数()fx在(,)内可导且()fx为奇函数，则'()fx为偶函数；④函数()fx在0x取得极值，则0'()0fx，其中正确的命题序号是。三．解答题：⒘函数32()fxaxbxcxd，当1x时，取得极大值8；当2x时，有极小值-19，求()fx的表达式。18．已知曲线31:(0)Cyxx与曲线32:23(0)Cyxxx交于O、A两点，直线(01)xtt与曲线12CC、分别交于B、D。⑴写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系()Sft；⑵讨论()ft的单调性，并求()ft的最大值。19．已知曲线21:Cyx，曲线22:(2)Cyx，直线l与12CC、都有相切，求直线l的方程。⒛⑴证明：对任意正数x，有不等式210,(01)xx⑵若0,0ab,且111,1ppq，求证：88pababp21．已知抛物线27:42cyxx，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线。⑴若C在点M的法线的斜率为12，求点M的坐标（00,xy）；⑵设(2,)pa为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。22．设函数()sin()fxxxxR⑴证明(2)()2sinfxkfxkx，其中k为整数⑵设0x为()fx的一个极值点，证明420020()1xfxx⑶设()fx在(0,)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,,naaa，证明1(1,2,)2nnaan极限与导数、复数参考答案一、选择题：1.B2.C3.A4.D5.B6.C7.D8.B9.A10.C11.B12.D二、填空题：13.3(0,)314.415.3216.③三、解答题：17.依题意，有2'()323(1)(2)fxaxbxcaxx，()fx在1,2内是减函数，0a且23,6baca，又7(1)82fabcdab，(2)8421019fabcdab，2,1ad，故3,12bc32()23121fxxxx。18.（1）由方程3323yxyxx得交点(0,0),(1,1)A又333(23)33BDttttt11()1022ABDOBDftSSBDBD31(33)2tt33()()(01)2ftttt（2）293'()22ftt令3'()03ftt19.设直线l与12,CC的切点分别为1122(,),(,)AxyBxy，21111122212()'2,22(2),2xxyxxxyxxxxx又211yx222211(2)yxxy22211111211111222(2)221yyyxxkxxxxxxx10x或12x，04kk或l的方程为：0y或44(2)yx。20.（1）讨论函数()1fxxx在区间(0,)上的最大值，11'()(1)fxx，令'()0fx，将区间(0,)分成两个区间(0,1)与(1,)，列表：(0,1)1(1,)'()fx0()fx极大值点故当1x时，()fx有最大值，又(1)0f，10xx。（2）在不等式10xx中，令11,(01)pqaxbpp有111111()1()0ppppppqqqqaaaabpbpbpbq1qabp1pqabq不等式两端乘以(0)qqbb，有qpqqpababpq，11(1)1,pqqabqqqabppqpq。21.(1)2742yxx的导数'24yx上点00(,)xy处切线的斜率0024kx，因过点00(,)xy的法线斜率为12，所以01(24)12x，解得0011,2xy，故点M的坐标为1(1,)2。（2）设00(,)Mxy为C上一点，①若02x，则C上点1(2,)2M处的切线斜率0k，过点1(2,)2M的法线方程为2x，此法线过点(2,)pa；②若02x，则过点00(,)Mxy的法线方程为：0001()24yyxxx①若法线过(2,)pa，则0001(2)24ayxx，即20(2)xa②若0a，则02xa，从而0212ay，将上式代入①，化简得：2220,2220xayaaxayaa，若0a与02x矛盾，若0a，则②式无解。综上，当0a时，在C上有三点2121(2,),(2,)22aaaa及1(2,)2，在这三点的法线过(2,)pa，其方程分别是：2220,xayaa2220,xayaa2x。当0a时，在C上有一点1(2,)2，在这点的法线过点(2,)pa，其方程为：2x。22.（1）由函数()fx的定义，对任意整数k，有(2)()(2)sin(2)sinfxkfxxkxkxx(2)sinsin2sinxkxxxkx，（2）函数()fx在R上可导：'()sincosfxxxx①令'()0fx，得sincos0,tanxxxxx，此方程一定有解，()fx的极植点0x一定满足00tanxx，由222222sintansinsincos1tanxxxxxx得220020tansin1tanxxx，2422220000002200tan()sin1tan1xxfxxxxxx。（3）设00x，是'()0fx的任意正实根，即00tanxx，则存在一个非负整数k，使0(,)2xkk，即0x在第二或第四象限内，由①式，'()cos(tan)fxxxx在第二或第四象限中的符号可列表如下：x0(,)2kx0x0(,)xk'()fx的符号k奇数0k为偶数0所以，满足'()0fx的正根0x都为()fx的极值点，由题设条件，12,,,,naaa为方程tanxx的全部正实根，且满足12naaa，那么对于1,2,n，11(tantan)nnnnaaaa11(1tantan)tan()nnnnaaaa②由于(1)(1)2nnan，12nnan，1322nnaa，由于1tantan0nnaa，由②式知1tan()0nnaa，由此综上，12nnaa。