机械能有关功功率动能定律的几个小专题

机械能（三）有关功、功率、动能定理的几个小专题不同力做功问题分类解析：高一学生在学习力做功问题时会出现不少问题。主要原因是由于不同性质的力做功特点不一样导致计算方法不同。下面我们将常见的几种力做功的计算方法作一简要分析。（一）恒力做功的计算力和物体在力的方向上发生的位移是力做功不可缺少的两个因素。如果该力是恒力，则该力所做的功就等于该力与该力方向上位移的乘积。解决此类问题，完全没必要死记公式“cosFsW”，我们既可以分解力也可以分解位移。如图1所示。水平面上一物体在与水平方向成角的拉力F作用下发生位移s，求力F所做的功。Fαs图1解：（1）分解力：本题中力和位移不在一条直线上，将力F分解成一个与位移在一条直线上的分力cos1FF和一个与位移方向垂直的分力sin2FF，如图2所示，由于2F与s垂直，这个力的功02W；1F与s同向，这个力的功cos11FssFW。由力F的功等于它的两个分力功的和21，得1WW。即：力F做的功就等于F在s方向上的分力1F所做的功。αsFF2F1图2（2）分解位移：将物体的位移s分解成沿力F方向的分量cos1ss和垂直力F方向的分量sin2ss，如图3所示。由于2s与F垂直，该方向上力做的功02W，则力F做的功cos1FsFsW，与用公式cosFs计算的数值完全相同。我们把与力F的方向一致的位移分量1s称为有效位移分量。图3[例1]某物体质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为，第一种情况下力F斜向下与水平方向成角；第二种情况下力F斜向上与水平方向成角。两种情况下物体在水平方向上发生的位移都是s，求两种情况下二力做功的大小关系。解析：根据恒力做功的公式cosFsW可知，两种情况下力F做的功都为cosFsW，大小相等。说明：力做的功就等于这个力和这个力方向上位移的乘积，与别的因素无关，某个力所做的功并不一定等于物体动能的变化，因为物体动能的变化等于合外力对物体所做的功，在这一点上初学者容易出错。（二）合力做功的计算功是一个标量，只有大小没有方向，功的求和是代数求和。所以，求合力的功有以下三种方法：（1）先求合力，再求合力的功；（2）先求各分力的功，再求各分力功的代数和；（3）根据动能定理，求物体动能的改变量。[例2]如图4所示，质量为kgm2的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数2.0，现用与水平方向成37的斜向下的力NF10推物体。使物体向右运动。物体从开始运动经过st5的时间内合外力对物体做的功是多少？（2/10smg）Fαm图4解：如图5所示，物体受四个力作用，重力mg、支持力NF、推力F、滑动摩擦力fF在竖直方向上：sinFmgFN在水平方向上：maFFfcos且NfFF解得2.5fFN，2/4.1smas5内物体的位移mats5.17212（1）该物体在其位移方向上的合力为NNmaF8.24.12合（也可以根据fFFFcos合计算），JsFW49合合。（2）0GW，0NW，cosFsWF=140J，JsFWff91，所以合力所做的功J合。（3）该物体的初速度01v，物体的末速度smsmatv/7/54.12，合WJmvmvEk4921212122。mgFNFFfα图5说明：求合力的功究竟采用那一种方法因题而异。如果题目中各个分力的功都容易求出，则可以先求各分力的功再求代数和；如果题目中所给条件容易求合力（如有质量、加速度），一般先求合力再求合力的功；如果题目中给出物体的初、末速度，就尽量应用动能定理求解。（三）变力做功的计算功的计算式cosFsW只适用于求恒力做功，对求变力做功不适用，求变力功的方法很多，高一阶段一般采用动能定理。[例3]如图6，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为，物块与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物块做的功为（）A.0B.mgR2C.mgR2D.2mgRm图6解析：首先要明确研究的过程是物块随转台由静止开始转动到匀速转动的过程，该过程物块的动能在不断的增大，而物块受到的重力和支持力不做功，则只有摩擦力对其做功。物块的末动能就是转台开始匀速转动也是物块即将滑动时的动能，可认为此时是由最大静摩擦力（等于滑动摩擦力）提供向心力。由牛顿第二定律，得Rmvmg2由动能定理，得022mvWf，则2mgRWf说明：动能定理的应用非常广泛，除可计算变力的功外，还可计算耗散力作用下物体的位移（本文不再讨论）。因其只需考虑物体初、末状态的动能，而不需考虑过程的细节，因此优于牛顿运动定律。（四）重力做功的计算给出重力就包含了一个隐含条件，即重力方向竖直向下。竖直方向上的位移，通常称之为高度。根据功等于力和该力方向上位移的乘积知，只要物体初、末位置高度差一定，重力做功就一定，即重力做功与物体通过的路径无关，只与物体初、末位置之间的高度差有关mghWG。[例4]如图7所示，同一物体从A、B、C三个等高的不同形状的斜面顶端滑下，求三种情况下重力做功的大小关系。ABC图7解析：根据重力做功特点可知，三种情况下重力做功相等，都是mghW。说明：像重力、电场力等都属于保守力，保守力做功的特点是与物体通过的路径无关。（五）滑动摩擦力做功的计算某物体在地面上直线滑行时，该物体所受滑动摩擦力和物体的位移总在同一条直线上方向相反。这说明物体在整个运动过程中滑动摩擦力始终对它做负功，且滑动摩擦力的位移在数值上等于物体的路程，即使物体做曲线运动也适用，路sFWff。[例5]某物体质量为m，与水平地面间的动摩擦因数为，现用水平力将此物体沿一半径为R的操场推一周，求推力F至少做多少功？解析：在上述过程中，即使物体的动能不增加也必须克服滑动摩擦力做功，所以推力F做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功。根据滑动摩擦力做功的特点路sFWff，得mgRRmgWWfF22。容易出现的错误是认为位移0s，则0FW。说明：滑动摩擦力和空气阻力等都属于耗散力，这类力做功的特点是物体在力方向上的位移等于物体通过的路程。以上对各种不同种类力的做功特点作了简要分析。希望同学们认真体会。三.有关动摩擦力做功（一）动摩擦力做功与“路径有关”原型：用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为，物块质量为m，求此过程中摩擦力所做的功。sns1s2s3.R图1分析：物体在整个过程中摩擦力大小mgFf不变，而方向时刻改变，是变力，但若把圆周分成无数小微元段，则每一小段可认为摩擦力方向不变，每一小段可用恒力做功公式计算，然后各段求和便得。解：把圆轨道分成1s、2s、3s……ns，摩擦力在每一段做功分别为11mgsW、22mgsW……nnmgsW，则摩擦力在一周内所做的功n21Rmg2。结论：动摩擦力做功与路径有关，其计算公式为sFWf（s为物体运动路程）。[例1]从离地面H高处落下一只小球，小球在运动中所受的空气阻力是它重力的k倍，而小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，求小球从释放至停止所通过的总路程。解析：小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，说明小球与地面碰撞时无机械能损失。从小球自由释放到停止的全过程中重力做功为GHWG（重力做功与路径无关）。空气阻力随时与速度方向相反，因而做的功为sFWff（s为小球运行路程）根据动能定理kEW合得0fGWW，即0kGsGH得kHs说明：此题还可分段求解，最终利用数列求和，但利用全程求解更为简洁。（二）动摩擦力做功与“路径无关”原型：一个物体以一定的初速度沿水平面由A点滑到B点，物体克服摩擦力做功为1W；若该物体从A沿两斜面滑到B，物体克服摩擦力做的总功为2W，如图2所示，已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则（）A.21WWB.21WWC.21WWD.无法确定CAA'BB'αβ图2错解：此题中分别给出两种不同情况下物体的运动，比较可得第2种情况下物体所受的摩擦力较小但运动路程又长，因此许多同学会主观地认为无法确定，而错选答案D。正解：设物体与各接触面的动摩擦因数均为，物体重为G，水平面AB长（两斜面的水平距离）为s。则从A到B过程中，物体克服摩擦力做的功为GsW1。从A沿两斜面滑到B过程中（设最高点为C，且BAC，ABC），物体克服摩擦力做的功为BCGCAGWcoscos2GsBCCAG)cos(cos由此可得：虽然物体经过的路径不同，但克服摩擦力做的功相同。因而正确答案为A。结论：无论物体沿水平面还是斜面滑动，在无其它外力影响正压力且动摩擦因数相同的情况下，物体克服动摩擦做功与路径“无关”，其功为GsW（s为物体的水平位移）。[例2]如图3所示，DO是水平面，AB是斜面，初速为0v的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发滑动到A时速度也刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相等且不为零）（）A.大于0vB.等于0vC.小于0vD.取决于斜面的倾角ABDCOαβ图3解：设斜面AB、AC与水平面间夹角分别为、。物体沿DBA滑动时，合力做功)cos(1ABmgDBmgmghWODmgmgh。同法可得当物体沿DCA滑动时，合力做功为ODmgmghW2，即两次合力做功相等，根据动能定理kEW合可得，两次物体动能变化也相等，因此当物体沿DCA滑到顶端速度为零时，物体具有的初速度也等于0v，从而得正确答案B。说明：动摩擦力做功仍按功的计算公式求解，只是在此种条件下动摩擦力做功好像与“路径无关”，而等于Gs（s为物体的水平位移）罢了。（三）动摩擦力做功与“速度有关”原型：质量为m的木块，与轨道间的摩擦因数为，试分别求出木块沿竖直圆轨道外侧滑到A点和沿圆轨道内侧滑到B点时受到的摩擦力大小（设圆轨道半径为R，滑到A点到B点的速度均为v，且OA和OB与竖直方向的夹角均为）。解析：当木块滑到圆轨道外侧A点时，受力分析如图4-甲所示，则有11NFGRmv2)cos(21211RmvGFRmvGFfN，当木块滑到圆轨道内侧B点时，受力分析如图4-乙所示，则有)cos(22212212RmvGFRmvGFRmvGFfNN。图4-甲图4-乙结论：①物体滑到竖直圆轨道外侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越小；②物体滑到竖直圆轨道内侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越大。[例3]如图5所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹形曲面，且A与B在同一水平面上，已知完全相同的甲、乙两物块，甲以速度0v从A滑到B时速度变为1v，乙也以速度0v从B滑到A时速度变为2v，则1v与2v的关系是（）A.21vvB.21vvC.21vvD.无法判定图5解：由于摩擦，在外轨道上滑行时物块甲的速度大于乙速度，其上任一位置物块受到的摩擦力)cos(21RmvGFf，即一定时速度小者摩擦力大，因此在外轨道上运行时乙受的摩擦力大于甲受的摩擦力。在内轨道上滑行时物块乙的速度大于甲的速度，其上任一位置物块所受的摩擦力2fF)cos(2RmvG。即一定时速度大者摩擦力大，因此在内轨道上运行时仍是乙受的摩擦力大，所以在全程中乙所受摩擦力均大于甲所受的摩擦力。无论甲从A滑到B还是乙从B滑到A，甲、乙两物块的重力的功均为零，而物块乙从B运行到A时，克服摩擦力做的功多，所以乙后来的速度2v小于甲后来的速度1v，从而选择答案B。说明：在圆周运动中的动摩擦力做功之所以与速度有关是因为动摩擦力正比于正压力，而正压力又与向心力有关