华南师范大学附中20050412

华南师范大学附中2005学四月份高三数学试题考试时间：120分钟满分150分日期：2005年4月12日星期二本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填入答题卡中。1、若函数f(x)=x+2x+log2x的值域是{3,322－1,5+2,20}，则其定义域是(A){0，1，2，4}(B){12，1，2，4}(C){12，2，4}(D){12，1，2，4，8}2、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有A144B96C72D483、在平面直角坐标系内，将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线l，l与l间的距离为13，则直线l的倾斜角为Aarctan23Barctan32C－arctan23D－arctan324、设F1,F2是双曲线x24－y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，→PF1·→PF2的值为A0B1C12D25、若2,，则不等式logsin1－x22的解集是A{x|－cosxcos}B{x|xcos或x－cos}C{x|－1x－cos或cosx1}D{x|－1xcos或－cosx1}6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=6，AA1=8，点E在AB上，AE=1，点F在BC上，BF=3．过EF作与底面成30角的截面，则截面面积是A63B133C33或133D33或937、把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是A323cm2B4cm2C32cm2D23cm28、如图，在棱长都相等的四面体BCDA中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，则直线AF、CE所成角的余弦值为(A)13(B)16(C)23(D)329、使可行域为y≤x3y≥xx+y≤4的目标函数z=ax+by(ab≠0)，在x=2,y=2取得最大值的充要条件是(A)|a|≤b(B)|a|≤|b|(C)|a|≥b(D)|a|≥|b|10、已知tan,tan是方程x2+33x+4=0的两根，且,(－2,2)，则+=(A)3(B)－23或3(C)23或－3(D)－23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、已知复数z满足|z+1|=1，并且iz－1是纯虚数，则复数z的值为***．12、已知)(xf－log3(x+1)(x6)3x－6(x≤6)，若记)(1xf为)(xf的反函数，且),91(1fa则)4(af***．13、等差数列{an}的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项a1=________；数列{|an|}的前9项和等于***．14、函数fx=sin16x+3的最小正周期为***；其图象的位于y轴右侧的对称轴从左到右分别为l1,l2,l3,…，则l3的方程是***．EFCDBA三、解答题：本大题共6小题；共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、(本小题满分12分)已知向量m=（sinB，1－cosB)，且与向量n=（2，0）所成角为3，其中A、B、C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角Ｂ的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．16、(本小题满分12分)两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知1p1,1p2是方程x2－5x+6=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是54．1求p1,p2的值；2两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？3两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？17、(本小题满分14分)在三棱锥P－ABC中，PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=3a，点P到平面ABC的距离为32a．1求二面角P－AC－B的大小；2求点B到平面PAC的距离．18、(本小题满分14分)某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的1y条的18，第二次播放了2条以及余下的18，第3次播放了3条以及余下的18，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下最后的x条（1x）。（Ⅰ）设第k次播放后余下ka条，这里0,0xaya，求ka与1ka的递推关系式；（Ⅱ）求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y。ACPB19、(本小题满分14分)已知fx是奇函数，且x0时，fx=2ax+1x2．1求x0时，fx的表达式；2a为何值时，fx在0,1]上为增函数；3是否存在实数a，使fx在0,+上取得最大值－9？20、(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(M、)1,5(N，若点C满足ONtOMtOC)1(（Rt），点C的轨迹与抛物线xy42交于A、B两点.（Ⅰ）求证：OA⊥OB；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点)0,(mP(m≠0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.2005年4月12日试题答案一、选择题1、B．因为f(x)是增函数，又f(12)=322－1，f(1)=3，f(2)=5+2，f(4)=20，故定义域是{12，1，2，4}2~8、ABADCDC9、A．画出可行区域，直线l:ax+by=0的斜率为－ab，要使目标函数z=ax+by在x=2,y=2时，取得最大值，必须且只需|－ab|≤1，且直线l向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|－ab|≤1且b0。10、D．易错：忽视tan,tan是方程x2+33x+4=0的两负根,(－2,0)二、填空题11、0或－212、－213、9；4114、12；x=13三、解答题15、解：（Ⅰ）∵m=（sinB，1－cosB),且与向量n=（2，0）所成角为,3∴3BsinBcos1，2分∴tanB2=3，4分又∵0B0B22，∴B2=3，∴B=23。6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A+C=3，∴)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA，8分∵30A，∴3233A，10分∴1,23sinsin,1,23)3sin(CAA，当且仅当1sinsin,6CACA时。12分16、解：1由题意可知甲~B(5,p1)，∴D甲=5p11－p1=54p12－p1+14=0p1=12．2分又1p1·1p2=6，∴p2=13．3分2两类情况：共击中3次概率C22122120×C12131231+C12121121×C22132130=16；5分共击中4次概率C22122120×C22132230=136．7分所求概率为16+136=736．8分3设事件A,B分别表示甲、乙能击中．∵A,B互相独立，9分∴PA·B=PAPB=1－PA1－PB=1－p11－p2=12×23=13．11分∴1－PA·B=23为所求概率．12分17、解：1法一：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC=90，∵PA=PB=PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点E．2分取AC中点D，连PD,DE,PE．∵PE⊥平面ABC，DE⊥AC∵DE∥AB,∵AC⊥PD．4分∴∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．5分又PE=32a，DE=32a，∴tan∠PDE=PEDE=32a32a=3，∴∠PDE=60．故二面角P－AC－B的大小为60．8分法二：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC=90，∵PA=PB=PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点．设O为BC中点，则可证明PO⊥平面ABC．2分建立如图直角坐标系，则A12a,34a,0,B－a,0,0,Ca,0,0,D0,0,32a．→AB=－32a,32a,0,→DP=－34a,34a,32a．4分取AC中点D，连PD,DO,PO．∵AB⊥AC,又PA=PCPD⊥AC．∴cos→AB,→DP即为二面角P－AC－B的余弦值．6分ACEDPBACDPBzxyO而cos→AB,→DP=－32a－34a+32a－094a2+34a2+0·916a2+316a2+94a2=12．∴二面角P－AC－B的大小为60．8分2法一：PD=PE2+DE2=34a2+94a2=3a．S△APC=12AC·PD=32a2．10分设点B到平面PAC的距离为h，则由VP－ABC=VB－APC得13S△ABC·PE=13S△ABC·hh=S△ABC·PES△APC=12a·3a·32a32a2=32a．故点B到平面PAC的距离为32a．14分法二：点E到平面PAC的距离容易求得为34a，而点B到平面PAC的距离是其两倍．∴点B到平面PAC的距离为32a．14分18、解：（Ⅰ）依题意有第k次播放了11117888kkkakak，2分因此111178887kkkkkaaakaka。5分（Ⅱ）∵012888112777aaa=1+2×87+(87)2a2=┅=1+2×87+3×(87)2+┅+x×(87)x－1+(87)xaz，8分∵0,xa∴y=1+2×87+3×(87)2+┅+x×(87)x－1,10分∴87y=87+2×(87)2+3×(87)3+┅+x×(87)x，用错位相减法求和得：184977xxyx,12分∵yN，∴70x，即749xy.13分答：这家电视台这一天播放广告的时段x=7与广告的条数y=49。14分19、解：1设x0，则－x0，∴f－x=2a－x+1－x2=－2ax+1x2．2分而fx是奇函数，∴fx=－f－x=2ax－1x2x0．4分2由1，x0时，fx=2ax－1x2，∴f/x=2a+2x3．6分由f./x≥0得a≥－1x3．而当0x≤1时，－1x3max=－1．∴a－1．8分3由fx=2a+2x3知，当a≥0时，在0,+上，fx恒大于0，故fx无最大值；10分当a0时，令fx=0得x=3－1a．易得fx在0,+的增减性如下表所示：x（0，3－1a）3－1a（3－1a，+）fx+0－fx递增极大递减12分令f3－1a=2a·3－1a－3a2=－9，即33a2=9，得a=±33，当a=－33时，x=130，∴a=－33时，在0,+上有fxm