湖北武汉市2002届高三数学模拟题试

2002年武汉市部分学校高中三年级调研测试数学试题2002.5.23～24本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。试题中注明文科做的，理科考生不做；注明理科做的，文科考生不做；未作注明的，文理科考生都做。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目、准考证号用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若非负整数}03|{2xxxn则n=（A）0（B）1（C）2（D）3（2）在正方体1111DCBAABCD中，直线AC与1BC所成的角是（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°（3）[文科做]下列函数中，以π为周期且在区间（0，2）上为增函数的函数是（A）2sinxy（B）y=-tgx（C）y=sin2x（D）y=-cos2x[理科做]在极坐标系中，已知圆ρ=2sinθ上一点P的极角为53arccos，则点P的极径为（A）56（B）54（C）53（D）58（4）设α，β都是第二象限的角，且sinαsinβ，则（A）tgαtgβ（B）cosαcosβ（C）22tgtg（D）2cos2cos（5）已知△ABC的三边a，b，c满足abcba2222，则△ABC是（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）最大角大于120°的钝角三角形（D）最大角小于120°的钝角三角形（6）设A是抛物线pxy22上一点，B是点A关于x轴的对称点。若抛物线的焦点F为△AOB的垂心，则点A的横坐标为（A）p25（B）p43（C）p23（D）p45（7）线段21AA、21BB分别是已知椭圆的长轴和短轴，2F是椭圆的一个焦点|)||(|2221FAFA，若该椭圆的离心离为215，则211FBA（A）30°（B）45°（C）120°（D）90°（8）如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，已知上、下底面的面积分别是1和9，高是3，则CABAV（A）5（B）4（C）3（D）2（9）方程01)1(6322mxmx的两个根都是虚根，且两根的模的和为2，则实数m=（A）2（B）2（C）2（D）±2（10）一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/时，则两车的距离不能小于2)10(v千米，运完这批物资至少需要（A）10小时（B）11小时（C）13小时（D）12小时（11）若0x是方程xx)21(的解，则0x（A）（0.1,0.2）（B）（0.3,0.4）（C）（0.5,0.7）（D）（0.9,1）（12）用记号“”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即2baba。已知数列}{nx满足01x，12x，)3(21nxxxnnn，则nnxlim（A）0（B）21（C）32（D）1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项1、第Ⅱ卷3—6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2、答题前，将密封线内的项目填写清楚。3、考试结束后，监考人将第Ⅱ卷密封装订成册。二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）圆台的轴截面的面积等于210cm，母线与底面所成的角为30°，则圆台有侧面积等于________2cm。（14）设抛物线xy42的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则该弦所在直线的斜率为___________。（15）已知|z|=1，当arg（z-2i）取得最大值时所对应的复数z=_______。（16）有A、B、C三台不同型号的数控车床，甲、乙、丙、丁四名操作员，其中甲、乙会操作这三种车床，丙不能操作车床C，丁只会操作车床A。今从四人中选三人分别去操作以上车床，不同的选派方案共有__________种。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）设数列}{na是公差不为0的等差数列，且||||5111aa，2220a。（Ⅰ）试求出这个数列的通项na；（Ⅱ）将前n项的和nS表示成关于na的函数。（18）（本小题满分12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A0，ω0，2||）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（0x，2）和（20x，-2）。（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若]2,0(1x，31cos1x，求)(1xf的值。（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，高PA=3，E、F分别为AB、PD的中点。（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求平面PAD和平面PCE所成角的正切值。（20）（本小题满分12分）设定义在实数集R上的函数)(1xf，)(2xf，f（x）满足)()()(21xfxfxf，且对区间D上的任意两相异实数1x，2x，恒有|)()(||)()(|22122111xfxfxfxf。（Ⅰ）若)(1xfy是区间D上的增函数，能否确定y=f（x）是区间D上的增函数？（Ⅱ）若)(2xfy是区间D上的增函数，能否确定y=f（x）是区间D上的增函数？在上述两问中，如果能够确定，请给出证明；否则，请举一反例。（21）（本小题满分12分）某进口产品，2001年的关税税率是100%，进口上岸价格是2000元（其中含1000元关税税款）。假如这种产品不含关税的价格因成本减少而按每年10%逐年降低，又因中国加入世贸组织后，该产品的关税税率将每年降低25%，一直到2005年降到0为止。（Ⅰ）至少到哪一年，这种产品的进口上岸价格将不高于2001年进口上岸价格的一半？（Ⅱ）在2011年，这种产品进口上岸价格是否可以不超过360元？（22）（本小题满分14分）设双曲线C的方程为1322yx，1F、2F是该双曲线的两焦点。（Ⅰ）记平面上一点P到双曲线实轴、虚轴和右焦点的距离分别为P（x）、P（y）和)(2FP。问在双曲线C的右支上是否存在一点P，使P（x）是P（y）和)(2FP的等比中项。如果存在，试求出点P的横坐标：如果不存在，请说明理由；（Ⅱ）若Q是曲线C上任一点，从左焦点1F引21QFF的平分线的垂线，垂足为M。试求点M的轨迹方程。2002年武汉市部分学校高中三年级调研测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分（1）B（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）D（8）C（9）A（10）D（11）C（12）C二、填空题：每小题4分，满分16分（13）20π（14）2（15）i2123（16）8三、解答题：共6小题，满分74分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵}{na的公差不为0，∴5111aa，∴5111aa，∴031a由daa)2031(2031，得d=-2，……………………3分又由daa19120，得601a.……………………5分∴)2()1(60nan，即nan262……………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得262nan，…………9分∴)262)(260(nnnaaS，即93021412nnnaaS.……………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知条件，得A=2。………………2分2)2(200xxT，解得T=4π，∴21。………………4分把（0，1）代入解析式)21sin(2xy，得2sinφ=1，又2||，解得6。………………6分∴)62sin(2)(xxf即为所求。…………………7分（Ⅱ）由]2,0(1x，31cos1x，得312cos12sin11xx，322cos12cos11xx………………10分∴3612cos2sin3)62sin(2)(1111xxxxf。…………12分（19）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG，EG，…………2分∵DCFG21//，DCAE21//，∴AEFG//，∴四边形AEGF是平行四边形。∴AF∥EG。…………4分又PCEAF平面，PCEEG平面，∴AF∥平面PCE。………………6分解：（Ⅱ）延长DA、CE相交于M，则PM是所求二面角的棱过点A作AT⊥PM于T，连ET，………………8分∵EA⊥AD，EA⊥PA，∴EA⊥平面PAD。根根三垂线定理ET⊥PM，∴∠ETA是所求二面角的平面角。………………10分注意到EA=2，AM=AD=4，512343422AT.∴65ATEAETAtg即所求二面角的正切值为65.…………12分（20）（本小题满份12分）解：（Ⅰ）能够确定。证明如下：………………1分∵)(1xfy是区间D上的增函数，∴对任意的1x，Dx2，若12xx，恒有0)()(1121xfxf又|)()(||)()(|22122111xfxfxfxf∴)()()()(22121121xfxfxfxf，……………………4分∴)()()()(12112221xfxfxfxf即)()(12xfxf∴y=f（x）是区间D上的增函数。……………………7分（Ⅱ）不能确定。……………………8分令xxf)(2是R上的增函数，对任意的两实数1x，2x，xxf2)(1满足|)()(|||||2|)()(|221221212111xfxfxxxxxfxf，但xxfxfxf)()()(21在R上是减函数。……………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知第一年即2001年的进口上岸价格为2000元，则第n年的进口上岸价格为6n.10%)-1000(15n)],1(25.02[%)101(10001-n1nann…………4分由此知15752a，12153a，25.9114a。注意到na随n的增加而减少，故至少到2004年，这种产品的进口上岸价格将不高于2001年进口上岸价格的一半。…………6分（Ⅱ）[解法1]首先注意到，当5≤k≤9时，110101110101.01101.01.01.0kkkkkkkkCkkCCC0))1(10101(1.010kkCkk.…………9分∴351.01.02101.01201.0451.0101)1.01(43210，∴35111a.故在2011年，这种产品的进口上岸价格不超过360元。………………12分[解法2]假设在2011年这种产品的进口上岸价格可以超过360元，则36011a，即3609.0100010，亦即369.010010，∴69.0105，即69.094，∴3281.02.矛盾。故在2011年这种产品的进口上岸价格不超过360元。……………………12分（22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设双曲线右支上的点),(11yxP满足题设要求。因为双曲线右准线方程为21x，离心率为e=2。根据双曲线的准线性质)21(2)(12xFP.……………………4分又1)(xyP，33)]([31212xyxP.根据题设要求，得1121)21(233xxx，整理得03121xx，解之21131x，)2113(舍去。即所求的点P存在，其横坐标为2113.……………………7分（Ⅱ）若Q在双曲线的右支上，则延长2QF到T，使||||1QFQT；若Q在双曲线的左支上，则在2QF上取一点T，使||||1QFQT。根据双曲线的定义2||2TF，所以点T在以)0,2(2F为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是4)2(22yx①………………………………