南师大附中高考预测题

江苏省南师大附中2006年高考预测卷数学试题2006.05.25第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：每小题5分，共50分．1．下列四个函数中，值域是(－∞，－2]的一个函数是（D）(A)y＝－2x＋1(x＞32)(B)y＝－(x＋1)2－2(－1≤x≤0)(C)y＝x＋1x(x＜－1)(D)y＝log0.5(x＋1x－1＋1)(x＞1)2．某工人1天出废品的概率为0.2，工作4天，恰有2天出废品的概率为(A)A．0.1536B．0.0256C．0.24D．0.3843．已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要不充分条件是(D)(A)m∥α，n∥α(B)m⊥α，n⊥α(C)m∥α，nα(D)m，n与α所成角相等４．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60o，则直线xcosα－ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1的位置关系是(C)(A)相切(B)相交(C)相离(D)随α，β的值而定５．已知x，y满足约束条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝2x＋4y的最小值为(D)(A)10(B)－10(C)6(D)－6６．进入21世纪，肉食品市场对家禽的需求量大增，发展家禽养殖业成了我国一些地区发展农村经济的一个新举措．下列两图是某县2000～2005年家禽养殖业发展规模的统计结果，那么，此县家禽养殖数最多的年份是(B)(A)2000年(B)2001年(C)2003年(D)2004年７．已知椭圆x24＋y23＝1上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn．设椭圆的右焦点为F，数列｛|PnF|｝是公差大于11003的等差数列，则n的最大值为(B)(A)2007(B)2006(C)1004(D)1003８．用平面截半径为R的球，如果球心到截面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为(D)A．1：3B．3：4C．4：3D．3：16(年)200020012002200320042005场平均家禽养殖数(万只)1.01.21.41.61.82.0(年)200020012002200320042005家禽养殖场数(个)1014182226309．点P（－3，1）在椭圆22221(0)xyabab的左准线上．过点P且方向向量为a＝(2，－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A)A．33B．13C．22D．1210．若},7,6,5,4,3,2,1{)2,1,0(},1010|{,0122iaaaaxxnmi其中并且636nm，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为(C)A．60个B．70个C．90个D．120个第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．11．抛物线24yx的准线方程是________x=－1____________________．1２．已知向量a(1,1)，b(2,3)，若ka-b与a垂直，实数k等于12．1３．已知m≥2，n≥2且m、n为正整数，对m的n次幂进行如下方式的“分裂”，仿此，以下几个关于“分裂”的叙述：（1）52的“分裂”中最大的数是9；（2）44的“分裂”中最小的数是13；（3）若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为15。上述关于“分裂”的正确叙述的序号是（1）（3）。（写出所有正确的叙述的序号）１４．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是534１５．有下列命题：①G＝ab（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；yxoP(-3,1)QF1F2y=-2③若不等式|x－4|+|x－3|＜a的解集非空，则必有a≥1；④函数y=sinx+sin|x|的值域是［－2，2］．其中正确命题的序号是①②④．（把你认为正确的命题的序号都填上）１６．设{an}为等差数列，从{a1，a2，a3，…，a10}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有24个．三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(I)求∠B的范围；(II)求y＝2sin2B＋sin(2B＋π6)的取值范围．解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．根据余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12．又因为0＜B＜π2，所以0＜B≤π3．所以∠B的范围是(0，π3]．(2)y＝2sin2B＋sin(2B＋π6)＝1－cos2B＋sin2Bcosπ6＋cos2Bsinπ6＝1＋sin2Bcosπ6－cos2Bsinπ6＝1＋sin(2B－π6)．因为0＜B≤π3，所以－π6＜2B－π6≤π2，所以－12＜sin(2B－π6)≤1，所以12＜y≤2．所以y＝2sin2B＋sin(2B＋π6)的取值范围是(12，2]．１８．(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点．(I)求证：EF⊥面BCD；(II)求多面体ABCDE的体积；(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．解：(I)取BC中点G，连FG，AG．因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．又AG面ABC，所以BD⊥AG．又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝12BD＝1，所以FG∥AE．又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．(II)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝3．又BD∥AE，所以BD与AE共面．又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．ABCEDFEDACBFGHK故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝13SABDE·CH＝13[12(1＋2)×2×3]＝3．(III)过C作CK⊥DE于K，连接KH．由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C－DE－B的平面角．易知EC＝5，DE＝5，CD＝22．由S△DCE＝12×22×3＝12×5CK，可得CK＝2305．在Rt△CHK中，sin∠HKC＝CHCK＝104，所以cos∠HKC＝64，所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为64．19．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当2ax时，y=a3；③txax,0)(2，其中t是常数，且t2,0（1）设y=f(x)，求f(x)的表达式及定义域；（2）求出产品增加值y的最大值及相应的x的值。解：（1）设y=f(x)=k(a－x)x2∵当2ax时，y=a3，即2423aaka∴k=8∴f(x)=8(a－x)·x2∵txax)(20∴函数的定义域是1220tatx（2）f(x)=－24x2+16ax，令f’(x)=0，则x=0（舍），x=32a当0x32a时，f’(x)0，∴f(x)在)32,0(a上是增函数当x32a时，f’(x)0，∴f(x)在),32(a上是减函数所以x=32a为极大值点当32122atat时，即1≤t≤2，3max2732)32(aafy当32122atat时，即0t1，323max)12(32)122(ttatatfy综上：当1≤t≤2时，投入32a万元，最大增加值32732a当0t1时，投入122tat万元，最大增加值323)12(32tta２０．(本小题满分14分)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．(I)若∠AF1F2＝α，∠AF2F1＝β，试用α，β表示椭圆的离心率e；(II)设AF1→＝λ1F1B→，AF2→＝λ2F2C→，当A在椭圆上运动时，求证：λ1＋λ2为定值．.解：(I)设F1(－c，0)，F2(c，0)．在△AF1F2中，由正弦定理得|AF1|sinβ＝|AF2|sinα＝|F1F2|sin(α+β)，即|AF1|＝sinβ|F1F2|sin(α+β)，|AF2|＝sinα|F1F2|sin(α+β)，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝sinβ|F1F2|sin(α+β)＋sinα|F1F2|sin(α+β)＝2c(sinβsin(α+β)＋sinαsin(α+β))＝2c·sinα＋sinβsin(α+β)，得e＝sin(α＋β)sinα+sinβ．(II)设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．①当y0＝0时，λ1＋λ2＝2a2＋c2a2－c2＝2(1＋e2)1－e2；当AB或AC与x轴垂直时，λ1＋λ2＝2(1＋e2)1－e2．②当AB，AC都不与x轴垂直且y0≠0时，AC的方程为y＝y0x0－c(x－c)，由y＝y0x0－c(x－c)，x2a2＋y2b2＝1，消x得[b2(x0－c)2＋a2y]y2＋2b2y0(x0－c)y＋c2b2y－a2b2y＝0．由韦达定理得y2y0＝，所以y2＝，所以λ2＝|AF2||F2C|＝－y0y2＝－，同理可得λ1＝|AF1||F1C|＝－y0y1＝－，故λ1＋λ2＝－[＋]＝－＝2(a2b2＋b2c2)a2b2－c2b2＝2(a2＋c2)a2－c2＝2(1＋e2)1－e2，综上可知λ1＋λ2＝2(1＋e2)1－e2．2１．已知两圆A：425)2(22yx，B：41)2(22yx，如图所示，动圆P与圆A和圆B都相外切，直线l的方程为x=a（a21）（1）求动圆P的圆心的轨迹方程，并证明：当a=21时，点P到点B的距离与到定直线l的距离之比为定值。xF1ByAOCF2（2）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求|PQ|的最值。（3）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C满足PC⊥QC，求a的取值范围。．解：（1）设动圆P的半径为r，则|PA|=r+25，|PB|=r+21，∴|PA|－|PB|=2，∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为)1(1322xyx若a=21，则l为双曲线的右准线，∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e=2（2）若PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k(x－2)，代入双曲线方程得(3－k2)x2+4k2x－4k2－3=0由0334034022212221kkxxkkxx，解得k23∴|PQ|=632463)1(6||1222212kkkxxk当直线斜率不存在时，x1=x2=2得，y1=3，y2=－3，|PQ|=6∴|PQ|的最小值为6（3）当PC⊥QC时，P、C、Q构成直角三角形∴R到直线l的距离|RC|=2||PQ=xR－a○1又点P、Q都在双曲线1322yx上∴221||21||QPxQBxPB，21||||QPxxQBPB即|PQ|=4xR－2，xR=42||PQ○2将②代入①得aPQPQ42||2|||PQ|=2－4a≥6∴a≤－1