湖北省黄冈中学2005年秋季高二数学期末考试试题(文科)

湖北省黄冈中学2005年秋季高二数学期末考试试题（文科）命题人：曾建民校对人：陈晓洁一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a,b∈R，若|a+b|=1，则下列各式中成立的是（）A．|a|+|b|1B．|a|+|b|≥1C．|a|+|b|1D．|a|+|b|≤12．下列命题中，正确的是（）A．经过不同的三点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两条直线互相平行C．分别和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线D．若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补3．抛物线y=4x2的准线方程是（）A．x=1B．14xC．y=－1D．116y4．已知圆C与圆22(1)1xy关于直线y=x对称，则圆C的方程是（）A．22(1)1xyB．22(1)1xyC．221xyD．22(1)1xy5．不等式1|1|2x的解集为（）A．(3,0)B．（0，1）C．(1,0)(2,3)D．(3,2)(0,1)6．若P为双曲线22197xy的右支上一点，且P到右焦点的距离为4，则P到左准线的距离为（）A．3B．6C．152D．107．如图，A、B、C、D、E、F分别为正方体相应棱的中点，对于直线AB、CD、EF，下列结论正确的是（）A．AB∥CDB．CD与EF异面C．AB与CD相交D．AB与EF异面8．已知(cos,1,sin),(sin,1,cos)ab，当ab取最小值时，,ab的值为（）A．0°B．90°C．180°D．60°9．设,,为不重合的平面，,,lmn为不重合的直线，给出下列四个命题：①,,ll则；②若,,,,mnmn则；③若,,nmnm则；④若,,,,lmnlmn且则.其中是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410．已知实数x,y满足10yx，则22(1)(1)xy的最小值是（）A．12B．22C．2D．211．若双曲线22221(0,0)xyabab与直线2yx无交点，则离心率e的取值范围是（）A．(1,5]B．(1,5)C．(1,2]D．(1,2)12．E、F是椭圆22142xy的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠EPF的最大值是（）A．60°B．30°C．90°D．45°ADCBEF选择题答题卡题号123456789101112答案二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案写在横线上.13．若(2,1)p为圆22(1)25xy的弦AB的中点,则直线AB的方程为____________.14．过抛物线24yx的焦点作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1y2=_______.15．已知关于x的不等式2(6)()0axxaxa的解集为M，若3M，则a的取值范围是________________.16．某单位需购液化气106千克，现在市场上该液化气有两种瓶装，一种是瓶装35千克，价格为140元；另一种是瓶装24千克，价格为120元.在满足需要的情况下，最少要花费_________________元.三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.17．（本小题满分12分）求经过点A（3，2），圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切的圆的方程.18．（本小题满分12分）如图，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD.PADCBFED19．（本小题满分12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高度为2m，水面宽6m，如图所示.一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上，已知船宽5m，船面距离水面1.5m，集装箱的尺寸为长×宽×高=4×3×3(m).试问此船能否通过此桥？并说明理由.20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=BC=1，AA1=2，E为CC1的中点，F为BD1的中点.（1）求异面直线D1E与DF所成角的大小；（2）M为直线DA上动点，若EF⊥平面BMD1，则点M在直线DA上的位置应是何处？OADCB6m2mA1ADCBD1C1B1EFMxyz21．（本小题满分12分）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线1l于36(,)33P.（1）求该双曲线方程；（2）设A、B为双曲线上两点，若点N（1，2）是线段AB的中点，求直线AB的方程.22．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，4242||,||2,,33ABCDACBDM为CD的中点.（1）求点M的轨迹方程；（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数0，使0MPPN，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（3）过1(0,)2的直线与轨迹E交于P、Q两点，且0OPOQ，求此直线方程.PDCBMNAxyO2005年秋高二数学参考答案（文）1.B2.D3.D4.A5.D6.C7.D8.B9.B10.A11.A12.B13．x－y－3=014．－415．[2,3]∪[9,+∞)16．50017．解：设圆心坐标为（a,2a），则|225|22(3)(22)5aaaa.∴5a2－14a+8=0.∴a=2或45a.故所求圆的方程为482222(2)(4)5,()()5.55xyxy或18．（1）连结AC，设AC∩BD=0，连结EO，∵底面是正方形，∴O为AC的中点∴OE为△PAC的中位线∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，∴PA∥平面EDB.（2）∵PD⊥平面AC，BC平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D.∴BC⊥平面PDC.∵DE平面PDC,∴BC⊥DE.①又∵PD⊥平面AC，DC平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，∴△PDC为等腰三角形.∴DE⊥PC.②由①、②可知DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB,∴PB⊥平面DEF.（可建立空间直角坐标系证明。略）19．解：建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线顶点O在坐标原点，对称轴与y轴重合，设抛物线方程为x2=ay(a0)由题设条件知C（3，－3）在抛物线上，∴9=－3a，a=－3，即抛物线方程为x2=－3y.要使船能顺利通过，应有集装箱最高处E、F关于y轴对称.于是设F（1.5,y0），则1.52=－3y0.∴y0=－0.75此时点F距离水面的高度为5－0.75=4.25.而集装箱高加船高为3+1.5=4.54.25，故此船不能通过此桥.20．（1）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，2），E（0，1，1），F（12，12，1）.∴116(0,1,1),(,,1),||2,||11222DEDFDEDF.则11312cos,.16||||6122DEDFDEDFDEDF故异而直线D1E与DF所成角为3arccos6.（2）设点M（x,0,0），则11(1,1,0),(,,0).22BMxEF由EF⊥平面BMD1，有110,22xEFBE可得x=0.∴点M的坐标为M(0,0,0).故当EF⊥平面BMD1时，M在直线DA上的D点处.（也可不建立空间直角坐标系求解。略）21．解：(1)设半焦距为C，则F（C，0），直线l1的方程为byxa，直线PF的方程为()ayxcbOADCB6m2mFyxFA1ADCBD1C1B1EFMxyz解方程组,().byxaayxcb可得2(,)aabPcc，又已知P点坐标为36(,)33∴1,2,3.abc∴双曲线方程为221.2yx（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有2211,122221.22yxyx②－①,得()()2121()()21212yyyyxxxx.∴221211.221212yyxxkAByyxx即直线AB的方程为21(1)yx,即10.xy22．解：（1）设点M的坐标为M(x,y)(x≠0)，则22(,12),(,12).33CxyDxy又222(0,),(0,2).33AB由AC⊥BD有0ACBD，即(,1)(,1)0xyxy，∴x2+y2=1（x≠0）.（2）设P（x,y），则0(1),Mxy，代入M的轨迹方程有2220(1)1(0).xyx即221(0)12()10xyx，∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1221(2)23(1)0.∴02.从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0).（3）易知l的斜率存在，设方程为1.2ykx联立9x2+y2=1，有223(9)0.4kxkx设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则3,12122294(9)kxxxxkk.∵0OPOQ，而12120.xxyy∴110121222xxkxkx.整理，得223(1)10.2244(9)2(9)kkkk∴6.2k即所求l的方程为61.22yx①②