湖北省8校2002届高三文科数学模拟试题

湖北省2002届鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄樊四中襄樊五中八校联考数学试卷（文）命题人：黄冈中学曾建民本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡中。1．已知函数21x9log)x3(f2，则f(1)的值为（）A．21B．1C．5log2D．22．若4|a|0，则下列不等式恒成立的是（）A．2sinsinB．2coscosC．2tgtgD．2ctgctg3．若使集合Ra,0ax2ax|xM2中有且只有一个元素的所有α的值组成集合N,则A．N={-1，1}B．N={0，1}C．1,0,1ND．2,1,0,1,2N4．等差数列na的前n项的和为nS，若54a18a，则8S等于A．18B．36C．54D．725．若复数140cosi140sinz，则复数2z1的辐角主值为A．40°B．80°C．260°D．310°6．若),2(、，且0cossin，则下列结论正确的是A．B．23C．23D．237．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值为A．2B．3C．4D．68．无穷等比数列na的前n项和为nS，若8aaa321，且n2n2642S)aaaa(3，则nnSimlA．21B．2C．4D．89．将6)i2(按二项式定理展开，则第4项为A．i160B．i160C．60D．-6010．已知正数a、b满足a+b=1，则b11a11的最小值为A．5B．9C．11D．1611．已知)x(fy的图像如图甲，则函数xsin)x2(fy在[0，π]的大致图象为12．定义在R上的偶函数)x(fy，满足)x(f)1x(f，且在区间[-1，0]上单调递增，设)3(fc),2(fb),2(fa，则A．abcB．cabC．bcaD．cba第Ⅰ卷答题卡题号123456789101112答案注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的题目填写清楚。题号一二171819202122总分分数第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。13．设函数)0x(2)x(fx的反函数为)x(fy1，则函数)1x2(fy1的定义域为________________________。14．25cos25sin5cos2的值是______________________。15．从6名优秀学生中选4名，分别担任班长、团支书、学习委员、体育委员四种班干职务，已知6人中的甲、乙不能担任体育委员，则不同的安排方案有___________种。（用数字作答）16．关于复数2,0,2sini2cosz，有下列命题：①复数2z的辐角主值是α；②复数z在复平面上对应点的轨迹是单位圆；③z1z一定是实数；④将复数z在复平面内对应的向量OP按顺时针方向旋转90°得向量OQ，则OQ对应的复数是2cosi2sin。其中正确命题的序号是___________（把你认为正确命题的序号都填上）。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知z是复数，且5|z|,4)izarg(，求复数z。18．（本小题满分12分）已知a2xcos5xcosxsin)1a(2xsin)x(f22，若对于任意的实数x恒有6|)x(f|成立，求a的取值范围。19．（本小题满分12分）已知正三棱锥A—BCD的底面边长为a，E、F分别为AB、BC的中点，且AC⊥DE。（Ⅰ）求此正三棱锥的体积V；（Ⅱ）求二面角E—FD—B的正弦值。20．（本小题满分12分）数列na的前n项和)Nn(npaSnn且1p,aa21，（Ⅰ）求数列的首项1a及常数p的值；（Ⅱ）若aa2，用a表示543a,a,a，并由此求数列na的通项公式。21．（本小题满分12分）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益（已扣工资等）1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的43，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元。（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围：（Ⅱ）当280a140时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益。（注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）22．（本小题满分14分）定义在区间（-1，1）上的函数)x(f满足：1）对任意的)1,1(yx、都有)xy1yx(f)y(f)x(f；2）当)0,1(x时，0)x(f。（Ⅰ）求证)x(f为奇函数；（Ⅱ）试解不等式)21(f)1x(f)x(f。湖北省2002届八校联考数学试卷（文）参考答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ABDDCCCDABAB二、填空题：题号13141516答案1,213240③④三、解答题：17．解：设复数iz的模为)0r(r。则)4sini4(cosriz，∴i)12r2(r22z………………………………………………………………………4分∵5|z|，∴5)1r22()r22(22，即04r2r2…………………………8分∵0r，∴22182r，∴i21i)1222(222z故所求复数.i21z………………………………………………………………………………………12分18．解：∵a5)x2sin(aa25a5x2cos2x2sin)a1()x(f2（φ为一定角,大小与α有关）…………………………………………………………………………4分又∵2min2maxaa25a5)x(f,aa25a5)x(f,Rx。由6|)x(f|，得6aa25a5,6aa25a522…………………………………………………8分即,5a2a,1a,11a1,)a11(aa25)a1(aa25,1a1,a11aa25,a1aa25222222∴529a1。故所求α的取值范围是529,1，…………………………………………12分19．解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O，由正三棱锥性质可知O为底面中心，连CO，则CO⊥BD，……………………………………………………………………………………2分由三垂线定理可知AC⊥BD，又AC⊥ED，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AD，AB⊥AC，AB⊥AD。……………………………………………………………………………………4分在Rt△ACD中，由2222aAC2ADAC可得a22ADAC，∴a22AB，∴2ACDBa242ABADAC2131VV………………………………………………6分（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD，即∠EHG为二面角E—FD—B的平面角。…………………………………………8分∵AO21EG，而a66a438a2S31VAO23BCDACDB，∴a126EG又∵a410)a22()a42(ADAEED2222。而EF∥AC，∴EF⊥DE∴在Rt△FED中，a1215a23a410a42DFEDEFEH∴在Rt△EGH中，510a1215a126EHEGEHGsin。即所求二面角的正弦值为510。…………………………………………………………………………………………12分20．（文）解：（Ⅰ）令1n，则0a,1p0)1p(a,paS1111……………2分又令2n，即22paS即22pa2a0，∵0aa12，∴21p………………4分（Ⅱ）令3n，则33a23S，即a2a2a,a23aa023332，同理，可得a4a,a3a54。由此猜想a)1n(an。………………………………6分下面用数学归纳法证明：（1）当1n时，0a)11(a1，猜想正确。（2）当2n时，aa)12(a1，猜想正确。（3）假设)2k(kn时，猜想正确，即a)1k(ak。又1kk1kaSS，∴21k2k1k1kk1kaa,2k,a2)1k(ka2ka21k,aa2k2a)1k(，当1kn时，猜想a)1n(an仍成立，综上可知：数列na的通项公式为a)1n(an。…12分21．解：（Ⅰ）由题意可得ax)100140100a(100xx4.0)x01.01)(xa(y2。…4分∵a41x,a43xa，即x的取值范围是4a,0……………………………………6分（Ⅱ）∵a)702a(1001)]702a(x[1001y22，………………………………8分又∵280a140，所以4a,0)702a(，故，当a为偶函数时，取702ax时，y取最大值；当a为奇数时，取7021ax时y取最大值（为尽可能少裁，舍去7021ax）………………………………………………………………………………11分答：当员工为偶数人时，裁员)702a(人，才能获得最大的经济效益；当员工为奇数人时，裁员（7021a）人时，才能获得最大的经济效益。…………………………………12分22．解：（Ⅰ）令x=y=0，则0)0(f),0(f)0100(f)0(f)0(f……2分又令)1,1(x，则)1,1(x，而0)0(f)x1xx(f)x(f)x(f2，∴)x(f)x(f，即)x(f在（-1，1）上奇函数…………………………………4分（Ⅱ）令1xx121，则0xx21，0xx121，于是0)xx1xx(f)x(f)x(f)x(f)x(f21212121即)x(f)x(f21，所以)x(f在定义域上为减函数……………………………………………………………………………………7分从而129521352135x2135x,1x0)xy1yx(f)y(f)x(f而或，故所求不等式的解集为}2135x0|x{…………………………………………12分