衡阳市田家炳实验中2005年高二上期末模拟考试

衡阳市田家炳实验中2005年高二上期末模拟考试班级_______姓名__________学号______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设全集I=R，集合P={x|2x2－x＜0}，集合Q={x|x1≤2}，则()A.PRQB.P=RQC.P∪Q=RD.P∪Q={x|x＞0}2.当x∈［－1,3］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则a的最大值和最小值分别为()A.2，－1B.不存在，2C.2，不存在D.－2，不存在3.如果实数x、y满足(x－2)2+y2=3,那么xy的最大值是()A.21B.33C.23D.34.当－1≤x≤1时，y=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A.a0或a1B.0a≤1C.－1a－31D.a≤－1或a≥－315.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),且12FF是1PF与2PF的等差中项,则动点P的轨迹是().A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段6、已知平面内动点M(x,y)到定点A（6，0）的距离与到直线x=3的距离之比为2，则M的轨迹是（）。A抛物线；B椭圆；C双曲线；D圆。7.设0abc，“0ac”是“曲线cbyax22为椭圆”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件8.如图，已知c是椭圆)0(12222babyax的半焦距,则acb的取值()A(1,+∞)B),2(C]2,1(D)2,1(9.过原点的直线l与双曲线42x－32y=－1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是()A.(－23，23)B.(－∞,－23)∪(23,+∞)C.［－23,23］D.(－∞,－23］∪［23,+∞)10、已知曲线bx2+ay2=ab与直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知椭圆2219xyb的一条准线方程是x=92，则b=。12.已知－2＜α＜2,－π＜β＜2，则2α－31β的取值范围是_________.13.配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3mg,乙料5mg；配一剂B种药需甲料5mg,乙料4mg.今有甲料20mg,乙料25mg,若A、B两种药至少各配一剂,应满足的条件是__________.14.如图,直线lFH于H,O为FH的中点,曲线C1,C2是以F为焦点,l为准线的圆锥曲线(图中只画出曲线的一部分）,那么圆锥曲线C1是;圆锥曲线C2是.15.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为;三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．(12分)在R上定义运算).1(:yxyx，若不等式1)()(axax对任意实数x成立，求实数a的取值范围。17．已知a,b0,a+b＝1.求证：(1+a1)(1+b1)≥9.（12分）18.(14分)已知圆C:(x－1)2+(y－2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).(1)证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.19.(14分)已知椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的离心率36e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程;（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．20.(14分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.ABCDP21.(14分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=4x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO,如图所示.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.BAxOy参考答案一．选择题1.A2.B3.D4.C5.A6.C7.A8.C9.B10.D二．填空题：11，512，(－67,34)13，14，椭圆;双曲线15，2。三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．1x4;17．证明：11(1)(1)(1)(1)abababab=(2)(2)baab=22225529ababbaba(1+a1)(1+b1)≥9.18(1)证明:若按常规思路只需圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可，但注意到直线l的方程写成x+y－4+m(2x+y－7)=0后，发现直线l过直线x+y－4=0与直线2x+y－7=0的交点(3，1).若该定点在圆内部，则问题(1)得证.∵(3－1)2+(1－2)2=5＜25，∴点(3，1)在圆内部.∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)解:从(1)的结论知直线l过定点M(3，1)且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理知|AB|=222OMr=222)21()13(25=45.此时kl=－OMk1，即－112mm=－31121=2，解得m=－43，代入，得直线l方程为2x－y－5=0.19.(14分)解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．…1分依题意233622baabac，解得13ba，…5分∴椭圆方程为1322yx．…6分（2）假若存在这样的k值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx．…7分∴22(12)36(13)0kkkk或．①…8分设1(xC，)1y、2(xD，)2y，则2212213193112kxxkkxx，②…9分而4)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy．…10分要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE，即0CEDE时，有0)1)(1(2121xxyy．…11分∴05))(1(2)1(21212xxkxxk．③…12分将②式代入③整理解得67k．经验证，67k，使①成立．…13分综上可知，存在67k，使得以CD为直径的圆过点E.…14分20．解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，则曲线为22ax－22by=1,其中a=25,c=21|AB|.∴c=257,b2=c2－a2=3750.∴所求曲线方程为6252x－37502y=1(x≥25,y≥0).21.(14分)解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx…（1）……2分∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12120xxyy，……(2)……4分又点A，B在抛物线上，有221122,yxyx，代入（2）化简得121xx……5分∴222221212121211122()[()2](3)3333333yyyxxxxxxxx所以重心为G的轨迹方程为2233yx……7分（II）2222112211||||()()22AOBSOAOBxyxy222222221212211212xxxyxyyy……9分由（I）得222222221212121211()2222AOBSxxxxxxxx……11分121122212122xx……12分当且仅当121xx时，等号成立奎屯王新敞新疆……13分所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1.……14分