黑龙江省大庆铁人中学2002届高三文科数学模拟试题

高三数学（文史类）模拟检测试题2002．6本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21sincos)cos()cos(21sinsin一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。1．已知集合}643{P，，，P中至多有一个偶数，则这样的集合P共有A．2个B．4个C．5个D．6个2．函数)4x3cos()4x3sin(y的最小正周期是A．6πB．2πC．32D．33．用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内至少有一条直线与mA．平行B．相交C．垂直D．异面4．直线2y3x被圆032x2yx22所截的弦长为A．32B．2C．3D．15．如图，在正三棱台111CBAABC中，AC21CCCA111，D在边BC上，且11AC//DB平面，则异面直线AADB11与所成角的余弦值为A．23B．21C．41D．436．在1，2，3，4，5，6这六个数的全排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有A．360种B．120种C．40种D．20种7．在等差数列}a{n中，nS是数列}a{n的前n项和，已知73SS，则10SA．-10B．73SSC．)SS(2173D．08．在△ABC中，AB=3，内切动圆切AB于D，且AD=2DB，则顶点C的轨迹是A．双曲线B．双曲线的一部分C．抛物线D．抛物线的一部分9．某工厂产值第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年平均增长率为x，则A．3rqpxB．3rqpxC．3rqpxD．3rqpx10．圆锥的轴截面顶角为32，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是A．24πB．8πC．32D．3411．下列命题①若z∈C，则Rzz|z|22。②若函数y=f(x+1)的图像过点（1，1），则y=f(x)的图像必过点（0，1）。③函数)4x2cos(logy21的递半区间是)8k8k[，（k∈Z）。④二项式n3)xx1(（n∈N），对任意n∈N展开式中没有常数项。其中正确的命题是A．①③B．①④C．②③D．③④12．如图，某班共48个座位，位于坐标平面的格点上（坐标为整数的点）。班级同学每周串一次座，每次都右串一列，前串一行，其中最前一行串到最后一行，最左列串到最左列。若甲同学第一周的位置是（5，2），则第9周他的位置是（）A．（5，2）B．（5，3）C．（5，4）D．（1，5）第II卷（非选择题共90分）注意事项：第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题中。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13．已知a3log2，则a)15cos15(sin的值是_____________。14．点P在抛物线x8y2上，P到抛物线顶点的距离与到准线的距离相等，则点P的坐标是_____________。15．0x是关于x的方程xlogaax（0a1）的解，则0x，1，a这三个数的大小关系是_____________。16．一个球与正四面体的六条棱都相切，则正四面体的体积与球的体积之比是_____________。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）设z=1+cos2α+isinα，zarg21223，。求cos(α-β)cos(α+β)的最大值。18．（本小题满分12分）在长方体1111DCBAABCD中，111CB21BBAB，BE⊥AC交AD于E。（I）求证：BEAAC11平面；（II）求二面角EBAA1的正切值。19．（本小题满分12分）已知数列}a{n满足：1raa1an1n1，（n∈N，r≠0，1）（I）求432aaa，，的值；（II）猜想}a{n的通项公式并加以证明；（III）nS是数列}a{n的前n项和，若2)1rnS(limnn，求r的值。20．（本小题满分12分）如图，已知A（-1，0）、B（1，0），直线a的方程为x=4，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P。（1）试确定点P到点B的距离与点P到直线a的距离之比；（2）若|PA|-|PB|=1，求APBS。21．（本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O出发，沿东偏北α角的射线OZ的方向航行，其中tgα=3。在距离港口O为a13（a是正常数）海里东偏北β角的A处有一个供给科考船物资的小岛（133cos）。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船。该船沿BA方向不变全速追赶科考船，并在C处相遇。经测算当两船运行的航线与海岸线OB围城的△OBC面积S最小时，补给最适宜。（I）求S关于m的函数关系式S(m)；（II）当m为何值时，补给最适宜。22．（本小题满分14分）已知二次函数cbxax)x(f2（a、b、c∈R），满足f(-1)=0，f(1)≤1，且对于任意实数x都有f(x)-x≥0。（1）求f(1)；（2）证明：b0、c0；（3）如果函数g(x)=f(x)-kx在[0，2]上有反函数，求k的取值范围。参考答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。DCBABDABCBAC二、填空题：本大题共四小题，每小题四分，共16分。13．91；14．），（2211；15．1xa0；16．2三、解答题：本大题共六小题，共74分。17．（本小题满分12分）解：∵z=1+cos2α+isinαcossin2icos22=2cosα(cosα+isinα)2分∵223，∴23∴argz=α4分∴2β=α5分)cos()cos()2cos2(cos21)cos1cos2(2128分21161161cos21cos2169)41(cos210分∵23∴21cos0∴当21cos即3时，)cos()cos(取得最大值0。12分18．（本小题满分12分）（I）证明：∵ACCC1平面，AC是1AC在平面AC上的射影，ACBEACBE且平面，∴由三垂线定理知BEAC1。3分连接1AB，则BAAB11，同理由三垂线定理知BAAC11∵BBEBA1，∴BEAAC11平面6分（II）解：设BAAB11与的交点为O，则BAAO1。连接OE，则由三垂线定理知BAEO1，∴∠AOE为二面角EBAA1的平面角。9分设aBBAB1，则a22AO，BC=2a。∵△ABE∽△ABC，∴BCABABAE，∴a21AE。在Rt△AOE中，22AOAEAOEtg12分19．（本小题满分12分）解：（I）当n=2时，1r1raa121分当n=3时，1rr1raa2232分当n=4时，1rrr1raa23343分（II）猜想r1r11rrran2n1nn4分下面用数学归纳法证明①当n=1，2时，显然成立。②假设当n=k时，猜想成立，即r1r11rrrak2k1kk5分则当n=k+1时，1raak1k1)1rrr(r2k1k1rrr2)1k(1)1k(r1r11k∴当n=k+1时，猜想也成立。由①②知对一切自然数n，r1r1ann都成立。7分（注：若用其它方法证明正确可参考给分。）（III）1r11rrannn21naaaS)1r11rr()1r11rr()1r11rr(n21rn1rrrrn21rn1r1r)1r(rn1rn)1r(r)1r(r221n9分221nn)1r(r)1r(r1rnS∵2)1rnS(limnn∴2)1r(r2且r∈（-1，0）∪（0，1）11分整理，得02r5r22解得21r或r=2∵），（），（10012r∴21r。12分20．（本小题满分12分）解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系。则A（-1，0），B（1，0）。∵l垂直平分MB，∴|PM|=|PB|1分∴|PA|+|PB|=|AP|+|PM|=|AM|=4|AB|=22分∴P点轨迹为以A、B为焦点，且焦距为2，长轴长为4的椭圆。4分其方程为13y4x22其中a=2，3b，c=16分∴它的右准线为4cax2又∵B点到a的距离为3，∴直线a就是椭圆的右准线。∴21ace|PP||PB|8分（2）∵|PA|-|PB|=1，|PA|+|PB|=4∴25|PA|，23|PB|。9分∴532154434|PB||PA|2|AB||PB||PA|APBcos22210分∴54APBsin11分∴23APBsin|PB||PA|21SAPB12分21．（本小题满分12分）解：（I）∵tgα=3，∴直线OZ的方程为y=3x2分设点A的坐标为（00yx，），则a3133a13cosa13x0，a2132a13sina13y0。4分∴A（3a，2a）又B（m，0）故直线AB的方程为)mx(ma3a2y6分由)mx(ma3a2yx3y解得a7m3am6ya7m3am2x∴a7m3am3a7m3am6m21|y||OB|21S2OBC即）（a37ma7m3am3)m(S28分（II）a7m3am3)m(S2a37mam2a37ma37a37ma2]a314a37m9a49)a37m[(a2]a3149a492[a22a32810分当且仅当a37m9a49a37m2，即）（a37a314m等号成立，故当m为a314海里时，补给最适宜。12分22．（本小题满分14分）解：（1）∵对任意的x，都有f(x)≥x，∴f(1)≥1。1分又∵θ∈[0，2π），都有1cos)(sinf2∴当2时，有f(1)≤12分∴f(1)=14分（2）∵0)1(f1)1(f∴0cba1cba∴2(a+c)=1∴021cab6分∴c21a，∴cx21x)c21()x(f2∵f(x)-x≥0恒成立，即0cx21x)c21(2恒成立。7分∴0c)c21(4410c21∴0)1c4(21c2∴041c9分（3）∵41c∴41c21a∴41x21x41)x(f210分∵41x)k21(x41kx)x(f)x(g2在[0，2]上有反函数，∴g(x)在[0，2]上是单调的。12分∴），（20)1k2()21k(2a2b即2k-1≤0或2k-1≥2∴23k21k或14分