函数的连续性

课时5函数的连续性一、复习目标了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值最小值的性质.二、例题讲解例1．已知函数)1|(|1)1|(|)(xxxxf且有如下结论：①)(xf在点1x处连续；②)(xf在点1x处连续；③)(xf在点1x处极限不存在；④)(xf在点1x处极限不存在.其中正确的有___①④___.例2．指出下列函数的不连续点：（1）231)(22xxxxf；（2）xxxftan)(；)1(,3)1(,1)(xxxxxf.解：（1）由0232xx，得2,1xx，所以函数的不连续点为2,1xx.（2）当)(Zkkx时，0tanx，分母为0，当)(2Zkkx，xtan不存在，所以函数的不连续点为kx和)(2Zkkx.例3．设),21(1),1(21),10()(xxxxxf（1）求)(xf在点1x处的左、右极限.函数)(xf在1x处是否有极限？（2）函数)(xf在点1x处是否连续？（3）确定函数)(xf的连续区间.解：（1）.11lim)(lim,1lim)(lim1111xxxxxfxxf∵)(lim)(lim11xfxfxx，∴函数函数)(xf在1x处极限存在，且1)(lim1xfx.（2）∵1)(lim1xfx，且21)1(f，∴)1()(lim1fxfx.∴函数)(xf在点1x处不不连续.（3）函数)(xf的连续区间是(0,1),(1,2).例4．设函数)3(6sin)3)(1(log)(22xxkxxxf，在3x处连续，试确定k的值.解：∵3)1(loglim)(lim2233xxfxx，又kkf)36sin()3(，而在3x处连续，∴)3()(lim3fxfx，即3k三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P344课时6数学归纳法一、复习目标掌握数学归纳法证题的两个步骤，能运用数学归纳法证题，有初步的猜想归纳能力.二、例题讲解例1．设)(21312111)(*Nnnnnnnf，那么)()1(nfnf等于（D）A．121nB．221nC．121n+221nD．121n-221n例2．某个命题与正整数有关，若)(*Nkkn时，该命题成立，那么可推得当1kn时该命题也成立，现已知当5n时该命题不成立，那么可推得（）A．当6n时该命题不成立B．当6n时该命题成立C．当4n时该命题不成立D．当4n时该命题成立解：如果4n时命题成立，那么由题设，5n时命题也成立.上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是：如果5n时命题不成立，那么4n时命题也不成立.原命题成立，它的逆否命题一定成立，故选C.例3．*Nn，求证：nnnnn212111211214131211.证明：略例4．证明不等式：*)(2131211Nnnn证明：略例5．已知93)72()(nnnf，是否存在自然数m，使得对任意，都能使m整除)(nf，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.解：1224)4(,360)3(,108)2(,36)1(ffff，猜想能整除)(nf的最大整数是36.下面证明)(nf能被36整除，（1）当1n时，36)1(f能被36整除；（2）假设当kn时，)(kf能被36整除，则当1kn时，)13(18]93)72[(393]7)1(2[)1(11kkkkkkf由归纳假设]93)72[(3kk能被36整除，而131k时偶数，∴)13(181k能被36整除，∴)1(kf能被36整除.由（1）、（2）得)(nf能被36整除，由于36)1(f，所以能整除)(nf的最大整数是36.三、同步练习：已知点的序列)0,(nnxA，*Nn，其中)0(,021aaxx，3A是线段21AA的中点，4A是线段32AA的，…，nA是线段12nnAA的中点，….（1）写出nx与1nx、2nx之间的关系式（3n）；（2）设nnnxxa1，计算321,,aaa，由此推测数列}{na的通项公式，并加以证明；（3）求.解：（1）当3n时，221nnnxxx.（2）22,1212232121axxxxxaxxa42323343axxxxxa，由此猜测)()21(*1Nnaann.证法一：因为01aa，且2221111nnnnnnnnnaxxxxxxxa（2n），所以)()21(*1Nnaann.证法二：数学归纳法（3）当3n时，有112211)()()(xxxxxxxxnnnnn121aaann，由（2）知}{na是公比为21的等比数列，所以aaxnn32211lim1.