函数的单调性和奇偶性

函数的单调性和奇偶性一、学习目标1.理解函数的单调性概念，能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。2.会判定函数的单调性，会求单调区间。3.准确掌握一次函数、二次函数的单调性。4.解奇函数、偶函数的概念及图像物征，能判断某些函数的奇偶性；二、例题分析第一阶梯[例1]什么叫函数f(x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？[解]设任意的x1,x2∈[a,b],当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。设任意的x1，x2∈[a,b],当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间[a,b]上是减函数。[评注]1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间。2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域的子集。例如，的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那么，下列说法正确的是（把正确说法的代号都填上）①f(x)在其定义域A上是增函数②f(x)是单调函数③f(x)在区间（－∞，0）上是增函数④f(x)在区间（0，+∞）上是减函数⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞）答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误的：设x1=1,x2=1,则x1,x2∈A,但[例2]怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。[解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是：（1）设x1,x2:即设x1、x2是该区间上的任意二值，且x1x2（2）比较f(x1)和f(x2)的大小：通常采用作差法，即作差f(x1)-f(x2)，变形，定号。（也可以用“作商”等其它比较法）（3）作出结论：根据单调性定义，作出增函数或减函数的结论。例：根据函数单调性定义证明在区间（0，2]上是减函数。证明：设0x1x2≤2，则由；由∴由①得，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)。∴在区间（0，2）上是减函数。[例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。【解】目前应该学会判断单调性的三个判别法：1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如，判别函数的单调性：根据定义，先取x2x10，作差这里的△f是函数改变量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号来确定，△f的符号由因式x1x2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－40，从而△f0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在（0，2）上减函数；当x1，x2∈[2，+∞]时，x1x2－40，从而△f0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求得了：函数的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增区间。2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图象上升，则f(x)在该区间上是增函数；相反，图象下降，则f(x)是减函数。简言为“升增降减”。例如求二次函数f(x)=－x2+4x+1的单调性。因此f(x)的图象是开口向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在（－∞，2）上图象上升，在[2，+∞]上图象下降，所以f(x)的单调增区间是（－∞，2），单调减区间是[2，+∞]。3、复合法：其判别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减函数是减函数；减函数的增函数是减函数；减函数的减函数是增函数。简言为：增·增增；增·减减；减·增减；减·减增。可类比乘法符号法则来记忆：（+）·（+）=（+）；（+）·（－）=（－）；（－）·（+）=（－）；（－）·（－）=（+）；例如，求函数的单调性。解：先作复合映射函数u=x2-2x在（－∞，0）上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数在[0，+∞]上是增函数，因为减函数的增函数是减函数，所以函数在（－∞，0]上是减函数。同理，可得函数在[2，+∞]上是增函数。【评注】函数单调性的主要问题是求函数的单调区间和增减性。上面指出的三个判别法──定义法、图象法和复合法就是求单调递增区间或递减区间的基本方法。第二阶梯[例4]根据函数单调性定义，证明函数上是增函数。【证明】设x2x1≥2，则[例5]根据函数单调性定义，证明函数在定义域上是减函数。【证明】由3－x≥0得x≤3，∴函数f(x)的定义域是（－∞，3]设，则……①∵x1x2≤3，∴，∴由①得∴在其定义域（－∞，3）上是减函数。【评注】要注意严格按“定义法”证明的三步骤进行：在第一步中，应设，如果设成“x1x2”或设成“x1x23”都是错误的。在第二步中，作差f(x1)－f(x2)，要化成容易“定号”的形式，本题在①处用了“分子有理化”的技巧！应注意学会：（这里是慢镜头）。在第三步中，一定要根据定义作出明确的结论。[例6]试总结下列函数的单调性：（1）（2）【解】（1）当k0时，f(x)在（－∞，+∞）上是增函数；当k0时，f(x)在（－∞，+∞）上是减函数。（2）当a0，g(x)在（－∞，）上是减函数，在[，+∞]上是增函数。第三阶段[例7]求下列函数的单调区间，并指出增减性（不要求证明）：（1）；（2）。【探路】化归为基本函数，用复合法解（1）；用图象法解（2）。【解】（1）函数的定义域是，根据函数和的单调性，得函数的单调递增区间是：。的单调递增区间是：。（2）函数的定义域是。作出该函数的图象如图1中的实线。由图可知：函数的单调递减区间是：；单调递增区间是：。【评注】求函数的单调区间有定义法、图象法、复合法，把复杂的函数化归为基本函数的性质和图象来解决。但要注意选择快法，如本例之（2）用图象法是“快法”。其中画图只需画草图，一分钟即可画出。如用“复合法”解（2）也可以成功，但很慢，且容易求错。例8：已知函数上是增函数，求实数a的取值范围。【探路】画出二次函数的草图，用二次函数的单调界点来列a的不等式。【解】如草图2，抛物线顶点横坐标为，函数是增函数的条件是，解得a的取值范围：a≤2。[例9]根据函数单调性定义，证明函数上是减函数。【探路】严格按照“根据定义证明单调性”的三个步骤来证明，特别注意难点是的“定号”。由于，需证恒为正数，于是想到配方：但x1x2的符号不定，所以思路受阻，进而自我调节，产生各种思路：思路一：分类讨论。思路二：重新配方，看能否不分类就能确定符号。【证法一】任取x1x2，则其中的符号：当x1x2≥0时，由x1x2x1、x2中至少有一个非零当x1x20时，由－x1x20∴对任意的x1x2，恒有又由∴，∴函数上是减函数。【证法二】我们只证明：当x1x2时，。其余过程同证法一。当且仅当时，即x1=x2=0时，上式等于零。因为x1≠x2，所以恒成立。【评注】本题的证明方法一──分类法是排除解题受阻的一个通法。由于分类标准的不同，本题有许多证法，请你发现几个不同的分类证法。本题证明方法二是反分类，是本题最简捷的证法。由本题可知，任意不等二实数a，b，恒有。[例10]判断函数的奇偶性。思路分析：该题为分段函数，可分x0和x0两部分考察的关系，从而确定函数的奇偶性。解：∵函数的定义域综上，对任意x∈(-∞,0)U(0,+∞)均有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数。说明：本题关键要分段研究f(-x)与f(x)的关系。[例11]证明函数思路分析：证明证明：函数的定义域为实数，且三、检测题1.函数y=(2k+1)x-1在R上是减函数，则（）A.B.C.D.2.下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A.B.C.D.3.下列说法中，正确的是（）A.y=是减函数B.y=(－1，0)∪(0，1)上是减函数C.y=(－∞，0)∪(0，+∞)上分别是减函数D.y=(0，+∞)上是减函数4.函数f(x)=x2+2(a－1)x在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A.a≥3B.a≤－3C.a≤5D.a=35.函数y=的单调递减区间是。6.函数y=的单调递减区间是。7.函数y=在（0，1）上是增函数，则K的取值范围是。8.已知常数m和n满足mn2,则函数在区间（，+∞）上的单调性为9.函数的单调递减区间是。10、若函数的图像与函数（）A、是奇函数而不是偶函数。B、是偶函数而不是奇函数。C、既是奇函数也是偶函数。D、不是奇函数也不是偶函数。11、函数（）A、奇函数B、偶函数C、奇函数或偶函数D、非奇非偶函数。【答案】1.D2.A3.C4.B5.(－∞，1)6.[－，+∞]7.K08.减函数9.(－∞，0)[1，3].10、B11、D