含绝对值的不等式解法

含绝对值的不等式解法一、学习要求：1、掌握|x|＜a，|x|＞a型不等式解法。2、能将含绝对值的不等式化归为|x|＜a，|x|＞a型的不等式。3、掌握实数子集的简洁表示法──区间。二、例题：第一阶梯例1、总结一下初中学过的不等式的基本性质。答案：不等式的基本性质：说明：1、上面每条性质后面用括号注明性质的名称，其用意是帮助你加深理解和记忆。这些性质到了高中二年级还要系统学习，如果在高一你就熟练地掌握了不等式的基本性质，那么你的整个数学学习将少犯错误。2、上面使用了现代语言符号、，后面将在充要条件一节中学习它，现在译成推出，而AB表示AB，且BA，即译成等价较早地熟练使用这些符号，将推进你的数学学习。例2、写出实数绝对值的定义。答案：说明：绝对值的定义是用分类法给出的，这种分类是以0划分的，所以叫做零点划分。利用绝对值的定义可以脱去绝对值，同时零点划分是今后解决含绝对值的问题的一个基本分类方法。例3、写出不等式|x|＜a，|x|＞a（a＞0）的同解定理，并把解表示在数轴上。提示：|x|的几何意义表示数轴上的点x到原点的距离，利用绝对值的几何意义，直接得到不等式的解。答案：不等式|x|＜a，|x|＞a（a＞0）的同解定理是（Ⅰ）|x|＜a－a＜x＜a；（Ⅱ）|x|＞ax＜－a，或x＞a。说明：1、同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）要利用绝对值的几何意义记熟。2、应用同解定理（Ⅰ）和（Ⅱ）解|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式：设ax+b=y，则这两个不等式化为|y|＜c，|y|＞c再应用同解定理可解。这个方法叫做换元法。例4、试用集合的描述法给下列区间下定义：[a,b]，(a,b)，[a,b]，(a,∞)，(－∞,+∞)答案：说明：区间是表示实数子集的简洁方法，而不等式的解集都是实数的子集，因此，我们提前学习区间。例如不等式|x|＜a，|x|＞a（a＞0）的解集可用区间分别表示为（－a，a），（－∞，－a）∪（a，+∞）因为区间是集合，所以对于区间可使用子、交、并、补等符号。各学校都在讲函数时讲授区间，因此，很多同学不敢用简洁的区间取代集合的大括号表示法。[a,b]叫闭区间，（a,b）叫开区间；[a,b]，(a,b)叫半开半闭区间。只要你记住含端点用方括，不含端点用圆括。第二阶梯：例1、解不等式ax＞b提示：对a进行分类讨论，分情况给出解集。答案：说明：今后很多不等式都化归为不等式ax＞b，因此，遇到字母系数，不要忘记分类讨论。例2、如果a＞b＞0，那么下列各式中错误的不等式是（）A、B、ad＞bdC、a－c＞b－cD、c－a＜c－b提示：利用不等式性质答案：例3、解不等式答案：例4、等式1≤│2x-3│＜7答案：说明：1、解不等式的过程必须步步等价，因此求解过程的表述用即或等价的语言，本例的表述用了，这是非常简明的，你应从此学会运用。解不等式不可以用（推出），这与证明或解方程不同。2、相连不等式a≤b＜c等价于不等式组，而不等价于a≤b，或b＜c。这一点在本例求解开始时要特别注意。第三阶梯：例1、解关于x的不等式：a(x－1)＞x－1答案：原不等式等价于(a－1)x＞a－1当a＞1时，则a－1＞0，解为x＞1；当a＜1时，则a－1＜0，解为x＜1；当a=1时，则a－1=0，0·x＞0无解。综上，原不等式的解集：当a＞1时为（1，+∞）；当a＜1时为（－∞，1）；当a=1时为φ。说明：含字母的不等式的讨论问题始终是不等式的难点。例2、解不等式│x+2│+│x-2│＞4提示：思路一：零点划分法。思路二：数形结合法──利用绝对值的几何意义。答案：【解法一】│x+2│+│x-2│＞4由|x+2|=0得分点x1=－2，|x－2|=0得分点x2=2，于是分三种情况：设－2，2在数轴上的对应点为A，B，如图：不等式│x+2│+│x-2│＞4的解集，表示数轴上与A，B两点距离之和大于4的点集，又由图可知，数轴上与A，B两点距离之和等于4的点集是线段AB（包括端点A、B），所以与A，B两点距离之和大于4的点在线段AB的两侧延长线上（不包括端点A、B）。∴原不等式的解集是。说明：解法一──零点划分法是解决绝对值问题的通法，虽然有时麻烦，但非常清晰、好用，必须掌握它。解法二是数形结合法，比解法一简捷，能直观地看到结果。这忠告你：要养成从数、形两个方面去思考的习惯，提高数形结合的思维能力。三、练习题选择题(1．如果a＜b，那么下列各式中错误的是（）A.2a＜3bB.a+1＜b+1C.a－2＜b－2D.－2a＞－2b(2．不等式|x－2|＞3的解集是（）A.{x│x＜5}B.{x│-1＜x＜5}C.{x│x＜-1}D.{x│x＜-1，或x＜5＝(3．已知a＞1,则不等式│x+b│+a＞1的解集是（）A.{x│b+a-1＜x＜b-a+1＝B.{x│x＞b-a+1}C.φD.R(4．不等式0＜│x-1│≤2的解集是（）A.[-1，3]B.[-1，1）∪（1，3]C.（1，3）D.（-1，1）∪（1，3）(5．设全集为R，A={x|x＞6，或x＜－1}，B={x||x－5|＜a}其中a是常数，且11∈B，则（）A.B.C.D.二、填空题1、当a＜2时，不等式ax＞2x的解集是2、|1-3x|≤2的解集是3、的解集是。4、|x+1|＞|x-3|的解集是。5、2≤|3x-2|＜8（x∈Z）的解集是。答案：一、1----5A，D，D，B，C二、1、（-∞，0）2、3、4、（1，+∞）5、{－1，0，2，3}