含参数不等式问题

含参数不等式问题在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。步骤：（1）估计参数上、下界（2）求出参数上、下界（3）证明不等式对上、下界恒成立方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式例1、求a的范围，使得对任意x和∈[0，2]恒有sin23(x·22)cossin()cosaax≥81．例2、设a≤b＜c是Rt△三边长，求最大常数M，使cba111≥cbaM．例3、求最大的常数c，使得对满足x＞0，y＞0，122yx的实数yx,恒有66yx≥cxy例4、设a、b、c是Rt△三边长，且a≤b＜c，求：最大常数k，使)()()(222bacacbcba≥kabc对任何Rt△恒成立．例5、求最小的实数a，使得对任意非负x、y、z，且x+y+z=1，有xyzzyxa)(222≥2713a．多元函数的条件最（极）值求解求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧．例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律．因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等．1、函数法例1、设x、y∈R，求函数7261426),(22yxxyyxyxf的最小值，并求出取得最小值时的x、y的值．例2、设x∈R，试求函数182)24)(54()(222xxxxxxxf的最小值．例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值．例4、已知若干个正整数之和为1976，求其积的最大值．例5、求二元函数22)11()(),(yxyxyxf的最小值．例6、已知Rdcba,,,,试求cbaddbacadcbdcbadcbaf),,,(的最小值．例7、m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987．对于所有这样的m和n，3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．