海门市锡类中学二轮专题立体几何同步练习

A1CA1BA1AA1B1C1D1DA1OA1海门市锡类中学二轮专题立体几何同步练习生化姓名学号一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列命题：①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱；②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱维是正棱锥；④A、B为球面上相异的两点，则通过A、B的大圆有且公有一个。其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个3．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）A．28B．8C．24D．44．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．325．设α、β、γ为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是（）A．lml,,B．,,mC．m,,D．mnn,,6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．12B．24C．22D．327．平面P与平面Q所成的二面角为，直线AB平面P，且与二面角棱成角，它与平面Q成角，那么（）A.sinsinsinB.coscoscosC.222sinsinsinD.222coscoscos8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、C1D1的中点，则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正弦为（）A．63B．33C．66D．229．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则111abc等于（）A.114B.411C.112D2.1110．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）A.B.C.D.11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对12．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．3623B．2＋362C．4＋362D．36234ABC·PABC·PABC·PABC·P海门市锡类中学二轮专题立体几何同步练习生化姓名学号答题纸一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．13．正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是_____________．14．如图，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于______．15．已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是16．如图，在直三棱柱11ABCABC中，2BCAB，21BB，090ABC，E、F分别为111AACB、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为。17．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）．18．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，·FA1C1B1ABC则：①四边形BFD1E一定是平行四边形；②四边形BFD1E有可能是正方形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D。以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．(本题满分l2分)在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．20．（本题满分12分）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别是2和6，高为3的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2．（Ⅰ）证明AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小．ABCDOO1ABOCO1DDCBAV21．（本题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；（3）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．⑴求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；⑵求直线AA1到平面B1BCC1的距离；⑶当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等．PABCDEACA1C1FEB123．(本题满分14分)如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢块，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要的说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。甲乙海门市锡类中学二轮专题立体几何同步练习参考答案一、选择题题号123456789101112答案ADDABBAAADDC二、填空题13．3；14．3；15．π；16．32217．①③④18．①③④三、解答题19．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………………2分则A（12，0，0），B（12，1，0），C（－12，1，0），D（－12，0，0），V（0，0，32），∴13(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22ABADAV……………………3分由(0,1,0)(1,0,0)0ABADABAD………………………4分13(0,1,0)(,0,)022ABAVABAV…………………5分又AB∩AV＝A∴AB⊥平面VAD…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB是面VAD的法向量………………………7分设(1,,)nyz是面VDB的法向量，则11303(1,,)(,1,)0(1,1,)22330(1,,)(1,1,0)03xnVByznznBDyz9分∴3(0,1,0)(1,1,)213cos,72113ABn，………………………………11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为21arccos7……12分20．解法一（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，3）O1（0，0，3）.从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11BOACBOAC所以AC⊥BO1.（II）解：因为,03331OCBO所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量.设),,(zyxn是0平面O1AC的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取得)3,0,1(n.图3设二面角O—AC—O1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以coscosn，1BO=.43||||11BOnBOn即二面角O—AC—O1的大小是.43arccos解法二（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.因为3tan11OOOBBOO33tan111OOCOOCO，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1.（II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.由题设知OA=3，OO1=3，O1C=1，所以13,3221212121COAOACOOOAAO，从而1332111ACCOAOFO，又O1E=OO1·sin30°=23，所以.413sin111FOEOFEO即二面角O—AC—O1的大小是.43arcsin21．解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为x轴、y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，12)，P(0，0，1)．∴CD＝(－1，0，0)，AD＝(0，2，0)，AP＝(0，0，1)，AE＝(0，1，12)，PC＝(1，2，－1)，ABOCO1D图4FE(1)00CDADCDADCDPADCDAPCDAPCDPDCAPADA平面平面平面PDC⊥平面PAD……5分(2)∵cos,||||AEPCAEPCAEPC＝2－121+14·6＝3010，∴所求角的余弦值为3010．………………………………………………………………9分(3)假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG＝x，则G(1，x，0)，作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，即DQ＝1．∵2S△ADG＝S矩形ABCD，∴||||||||AGDQABAD＝2∴||AG＝2，又AG＝x2+1，∴x＝32，故存在点G，当BG＝3时，使点D到平面PAG的距离为1．…………………………14分22．解：⑴CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1………………………………………………………4分⑵作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，A1E＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可得A1H＝12EF＝1……………………………………………………9分⑶作A1G⊥面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1……………………………………………………………12分∵cos∠A1AG＝cos45°cos30°＝63，∴sin∠A1AG＝33，∴A1A＝133＝1………………14分23．（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊