广州市高中数学青年教师解题比赛试卷

2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷第I卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sinsinlccS21台侧其中c、c分别表示2sin2cos2sinsin上、下底面周长，l表示斜高或母线长2cos2cos2coscos台体的体积公式：hSSSSV31台体2sin2sin2coscos其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.（1）常数T满足xxTcossin和xxTgctgt,则T的一个值是（）．（A）（B）（C）2（D）22）在等差数列na中，12031581aaa,则1092aa的值为（）．（A）24（B）22（C）20（D）8（3）设点P对应复数是i33,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P的极坐标为（）．（A）4323，（B）4523，（C）453，（D）433，（4）设A、B是两个非空集合，若规定：BxAxxBA且,则BAA等于（）（A）B（B）BA（C）BA（D）A（5）函数xfy的图象与直线1x的交点个数为（）．（A）0（B）1（C）2（D）0或1（6）设函数xAxfsin（其中RxA,0,0）,则00f是xf为区（县级市）学校考生号姓名密封线内不要答题奇函数的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111CBAABC中，∠BAC＝90°，ACBC1，过1C作HC1底面ABC，垂足为H，则（）．（A）H在直线AC上（B）H在直线AB上（C）H在直线BC上（D）H在△ABC内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象可表示为（）．（A）（B）（C）（D）（9）以椭圆114416922yx的右焦点为圆心，且与双曲线116922yx的渐近线相切的圆的方程为（）．（A）091022xyx（B）091022xyx（C）091022xyx（D）091022xyx（10）已知nx21的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x项的系数是（）．（A）56（B）80（C）160（D）180（11）AB是过圆锥曲线焦点F的弦，l是与点F对应的准线，则以弦AB为直径的圆与直线l的位置关系（）．（A）相切（B）相交（C）相离（D）由离心率e决定（12）定义在R上的函数xfy的反函数为xfy1，则xfy是（）．（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）满足题设的函数xf不存在1C1B1AABC369120.20.40.60.8OtS369120.20.40.60.8OtS369120.20.40.60.8OtS369120.20.40.60.8OtS二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．（13）函数)23(sinxxy的反函数是．（14）已知抛物线的焦点坐标为12，，准线方程为02yx,则其顶点坐标为．（15）如图，在棱长都相等的四面体A—BCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则直线AF、CE所成角的余弦值为．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析，5人的名次排列共可能有种不同情况（用数字作答）.（17）（本小题满分10分）已知复数2cos2cos2CiAu，其中A、C为△ABC的内角，且三个内角满足2B＝A﹢C.试求iu的取值范围.18）（本小题满分12分）已知曲线C上的任一点Myx,（其中0x）,到点02，A的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线02x于N.（I）求曲线C的方程；（II）求证：NQ平行于x轴.（19）（本小题满分12分）是否存在一个等差数列na,使对任意的自然数n，都有212aan…nnnPa2.ABCDEF区（县级市）学校考生号姓名密封线内不要答题（20）（本小题满分12分）如图，△ABC是一个遮阳棚，点A、B是地面上南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影△ABD面积最大？（II）当AC＝3，BC＝4，AB＝5，＝30°时，试求出遮影△ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分）甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：项目甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在11，上的函数xf满足：①对任意x、1,1y,都有xfxyyxfyf1；②当0,1x时，有0xf.证明：（I）函数xf在11，上的图象关于原点对称；（II）函数xf在0,1上是单调减函数；（III）21331131712fnnfff.zn太阳OABCD区（县级市）学校考生号姓名密封线内不要答题