高一同步优化训练数学第三章数列1A卷(附答案)

高中同步测控优化训练(十二)第三章数列(一)(B卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为A.0B.37C.100D.－37解析：∵{an}、{bn}为等差数列，∴{an+bn}也为等差数列.设cn=an+bn,则c1=a1+b1=100,而c2=a2+b2=100,故d=c2－c1=0.∴c37=100.答案：C2.设{an}为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为①{an2}②{pan}③{pan+q}④{nan}(p、q为非零常数)A.1B.2C.3D.4解析：{pan}、{pan+q}的公差为pd(设{an}公差为d),而{nan}、{an2}不符合等差数列定义.答案：B3.在等差数列{an}中，a10,且3a8=5a13,则Sn中最大的是A.S21B.S20C.S11D.S10解析：3a8=5a13d=－392a10.an≥0n≤20.答案：B4.在{an}中，a1=15,3an+1=3an－2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是A.a21和a22B.a22和a23C.a23和a24D.a24和a25解析：an+1－an=32,∴an=15+(n－1)(－32)=3247n.an+1an031(45－2n)31(47－2n)0245n247.∴n=23.答案：C5.数列{an}的通项公式为an=4n－1,令bn=naaan21,则数列{bn}的前n项和为A.n2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)解析：∵an=4n－1,∴数列{an}是等差数列，且a1=4－1=3.∴bn=nnnnnaaa2)143(21=2n+1.显然数列{bn}是等差数列，且b1=2+1=3,它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=2)123(nn=n(n+2).答案：B6.数列{an}中，a1=1,a2=32,且n≥2时，有1111nnaa=na2,则A.an=(32)nB.an=(32)n－1C.an=22nD.an=12n解析：∵nnnaaa21111,n≥2,∴数列{na1}是等差数列.∵a1=1,a2=32,∴首项11a=1,公差d=211231112aa.∴21)1(2111nnan.∴an=12n.答案：D7.若{an}是等差数列，首项a10,a2003+a20040,a2003·a20040,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是A.4005B.4006C.4007D.4008解析：∵a10,a2003+a20040,a2003·a20040,∴a20030,a20040.S4006=2400622004200340061aaaa×40060,S4007=240071aa×4007=4007×a20040.∴使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4006.故选B.答案：B8.已知数列｛an｝的通项公式为an=(－1)n－1·(4n－3),则它的前100项之和为A.200B.－200C.400D.－400解析：S100=a1+a2+…+a100=1－5+9－13+17－…+(4×99－1)－(4×100－1)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－1)－(4×100－1)］=－4×50=－200.答案：B9.数列｛an｝的前n项和Sn=3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式中成立的是A.Sn＞na1＞nanB.Sn＞nan＞na1C.na1＞Sn＞nanD.nan＞Sn＞na1解析：由Sn=3n－2n2可求得an=－4n+5,∴a1＞an(n≥2).Sn=a1+a2+…+an＜na1,Sn=a1+a2+…+an＞nan,∴nan＜Sn＜na1.答案：C10.依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n个月内累积的需求量为Sn(万件),近似地满足Sn=90n(21n－n2－5)(n=1,2,…,12),则按此预测在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月解析：第n个月需求量an=Sn－Sn－1=301(－n2+15n+9),an1.5，得301(－n2+15n+9)1.5.解得6n9.∴n=7或8.答案：C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.解析：由－5×11+21011d=55,得d=2.由an=5,an=a1+(n－1)d得n=6.答案：612.在等差数列{an}中，若a1+3a8+a15=120,则2a9－a10=________.解析：∵{an}是等差数列，∴a1+3a8+a15=5a8=120,即a8=24.又∵{an}是等差数列，∴a8+a10=2a9.∴2a9－a10=a8=24.答案：2413.若△ABC三边a,b,c成等差数列，并且a2,b2,c2也成等差数列，则a,b,c的大小关系为_________.解析：由题意得2222,2cabcab由①得c=2b－a,代入②整理得a2－2ab+b2=0.∴a=b.答案：a=b=c14.已知a1=－125,an=an－1+)2(1nn(n∈N*,n≥2),则an=_________.解析：an=an－1+)2(1nn,①②an－1=an－2+)1)(1(1nn,an－2=an－3+nn)2(1,……a2=a1+421.相加得an=a1+)2(1531421nn=－21125［(4121)+(5131)+…+(211nn)］=－)2)(1(232nnn.答案：－)2)(1(232nnn三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)在等差数列{an}中，a1=－60,a17=－12.(1)求通项an;(2)求此数列前30项的绝对值的和.解：(1)a17=a1+16d,即－12=－60+16d,∴d=3.∴an=－60+3(n－1)=3n－63.(2)由an≤0,则3n－63≤0n≤21.∴|a1|+|a2|+…+|a30|=－(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+a30)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=2)603(×20+2)273(×9=765.16.(本小题满分10分)已知一元二次方程a(b－c)x2+b(c－a)x+c(a－b)=0有两个相等的实根，求证：a1，b1，c1成等差数列.证明：∵二次方程有等根,∴Δ=b2(c－a)2－4ac(b－c)(a－b)=0.∴b2c2+a2b2+(2ac)2－4a2bc－4abc2+2ab2c=0.∴(ab+bc－2ac)2=0.∴ab+bc－2ac=0.∴b(a+c)=2ac.∴b2=a1+c1.∴a1,b1,c1成等差数列.注：本题也可这样做：∵x=1是方程的根，∴x1=x2=1.∴x1x2=)()(cbabac=1.∴2ac=ab+bc.∵abc≠0,∴b2=a1+c1.∴a1,b1,c1成等差数列.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=abx的图象过点A(4,41)和B(5,1).(1)求函数f(x)的解析式.(2)记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0.(3)对于(2)中的an与Sn，整数96是否为数列{anSn}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.解：(1)由41=a·b4,1=a·b5,得b=4,a=10241,故f(x)=10244x.(2)由题意知an=log2(10241·4n)=2n－10，Sn=2n(a1+an)=n(n－9),anSn=2n(n－5)(n－9).由anSn≤0,得(n－5)(n－9)≤0,即5≤n≤9.故n=5,6,7,8,9.(3)a1S1=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40.当5≤n≤9时，anSn≤0.当n≥10时，anSn≥a10S10=100.因此，96不是数列{anSn}中的项.18.(本小题满分12分)已知f(x+1)=x2－4,等差数列{an}中，a1=f(x－1),a2=－23,a3=f(x).(1)求x的值;(2)求a2+a5+a8+…+a26的值.解：(1)∵f(x+1)=(x+1－1)2－4=［(x+1)－1］2－4，∴f(x)=(x－1)2－4.∴a1=(x－2)2－4,a3=(x－1)2－4.又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.(2)∵a1、a2、a3分别为0、－23、－3或－3、－23、0，∴an=－23(n－1)或an=23(n－3).①当an=－23(n－1)时，a2+a5+…+a26=29(a2+a26)=2351;②当an=23(n－3)时，a2+a5+…+a26=29(a2+a26)=2297.19.(本小题满分12分)用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.设每月付款顺次组成数列{an}，则a1=50+1000×0.01=60(元).a2=50+(1000－50)×0.01=(60－0.5)(元).a3=50+(1000－50×2)×0.01=(60－0.5×2)(元).依此类推得a10=60－0.5×9=55.5(元),an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20).∴付款数{an}组成等差数列，公差d=－0.5,全部货款付清后付款总数为S20+150=220(a1+a20)+150=(2a1+19d)×10+150=(2×60－19×0.5)×10+150=1255(元).答：第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，买这件家电实际花了1255元.