高三文科数学第二次模拟考试试题

高三文科数学第二次模拟考试试题一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xfxx≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)，3．函数()sin2cos2fxxx的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π4．椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102，Ｂ．202，Ｃ．112，Ｄ．212，5．在等比数列{}na（nN*）中，若11a，418a，则该数列的前10项和为（）A．8212B．9212C．10122D．111226．若不等式组502xyyax≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．5aＢ．7a≥Ｃ．57a≤Ｄ．5a或7a≥7．平面∥平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线aa，∥，∥Ｂ．存在一条直线aaa，，∥Ｃ．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥Ｄ．存在两条异面直线ababab，，，，∥，∥8．对于函数①()2fxx，②2()(2)fxx，③()cos(2)fxx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)fx是偶函数；命题乙：()fx在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③9．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图1）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A．48米B．49米C．50米D．51米10．函数2441()431xxfxxxx，≤，的图象和函数2()loggxx的图象的交点个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．11．()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．12．若数列na的前n项和210(123)nSnnn，，，，则此数列的通项公式为．13．已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．请考生在14，15两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．14．在极坐标系中，直线l的方程为sin3，则点π26，到直线l的距离为．15．如图2所示，圆O的直径6AB，C为圆周上一点，3BC，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．频率组距0.5%1%2%水位（米）3031323348495051图1ADCBOl图217．（本小题满分14分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．18．（本小题满分14分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知45ABC，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．SCDAB20．（本小题满分12分）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．21．（本小题满分12分）已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线交椭圆于B，D两点，过2F的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007-2008年高三文科数学第二次模拟考试试题参考答案一、选择题1．Ｃ2．Ｂ3．Ｂ4．Ｄ5．B6．Ｃ7．Ｄ8．Ｃ9．C10．C二、填空题11．312．211n13．314．215．30°三、解答题16．解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．………………………………………………7分（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457．所以，7b．………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064PA，()1()10.0640.936PAPA．………………………………………………7分（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01BBB．30()0.60.216PB，1213()0.60.40.432PBC．01()()PBPBB01()()PBPB0.2160.4320.648．……………………………………14分18．解法一：（1）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2211SDADSA．DBCASOE又sin452AOAB，作DEBC⊥，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连结SE．ESD∠为直线SD与平面SBC所成的角．222sin1111EDAOESDSDSD∠所以，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为1122．………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，因为222AOBOAB，221SOSBBO，又22BC，所以(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，．(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．…………………7分（Ⅱ）(2221)SDSAADSACB，，，(200)OA，，.OA与SD的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为OA为平面SBC的法向量，所以与互余．22cos11OASDOASD，22sin11，所以，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为1122．………………………14分19．解：（Ⅰ）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，DBCASOxyz2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．………………………14分20．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．………………………6分（Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS，①3252321223222nnnnnS，②②－①得22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn．………………………12分21．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c，由ACBD⊥知点P在以线段12FF为直径的圆上，故22001xy，所以，222200001132222xyxy≤．………………………6分（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且0k时，BD的方程为(1)ykx，代入椭圆方程22132xy，并化简得2222(32)6360kxkxk．设11()Bxy，，22()Dxy，，则2122632kxxk，21223632kxxk，2222122212243(1)1(1)()432kBDkxxkxxxxk；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k．所以，2222143143(1)12332kkACkk．四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk≥．当21k时，上式取等号．………………………10分（ⅱ）当BD的斜率0k或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S．……………………11分综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．………………………12分B1FO2FPDAyxC