高三数学圆锥曲线学科素质训练

2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若椭圆经过原点,且焦点为12(1,0),(3,0)FF,则其离心率为（）A．34B．23C．12D．142．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．4D．43．已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）A．2B．332C．2D．44．与y轴相切且和半圆224(02)xyx内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．24(1)(01)yxxB．24(1)(01)yxxC．24(1)(01)yxxD．22(1)(01)yxx5．直线2yk与曲线2222918kxykx(,)kR且k0的公共点的个数为（）A．1B．2C．3D．46．如果方程221xypq表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）A．2212xyqpqB．2212xyqppC．2212xypqqD．2212xypqq7．曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同8．双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m（）A．14B．4C．4D．149．设过点yxP,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1ABOQ，则P点的轨迹方程是（）A．0,0123322yxyxB．0,0123322yxyxC．0,0132322yxyxD．0,0132322yxyx10．抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是（）A．43B．75C．85D．311．已知抛物线21xy上一定点(1,0)A和两动点,PQ当PAPQ是,点Q的横坐标的取值范围是（）A．(,3]B．[1,)C．[3,1]D．(,3][1,)12．椭圆22143xy上有n个不同的点:,,....,21nPPP,椭圆的右焦点为F,数列{||}nPF是公差大于1100的等差数列,则n的最大值为（）A．199B．200C．198D．201二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．椭圆221123xy的两个焦点为12,FF,点P在椭圆上.如果线段1PF的中点在y轴上,那么1||PF是2||PF的______________倍.14．如图把椭圆2212516xy+=的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.16．已知两点(5,0),(5,0)MN,给出下列直线方程:①530xy;②53520xy;③40xy.则在直线上存在点P满足||||6MPPN的所有直线方程是_______.(只填序号)三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、764,0M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D.观测点)0,6()0,4(BA、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点BA、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18．（本小题满分12分）已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）。（1）求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、1F、2F关于直线y＝x的对称点分别为P、'1F、'2F，求以'1F、'2F为焦点且过点P的双曲线的标准方程.19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是(,0)Fm(m为大于0的常数).（1）求椭圆的方程;（2）设Q是椭圆上一点,且过点,FQ的直线l与y轴交于点M,若||2||MQQF,求直线l的斜率.20．（本小题满分12分）已知点,AB分别是椭圆2213620xy长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PAPF.（1）求点P的坐标;（2）设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于||MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.21．（本小题满分12分）已知抛物线28yx,是否存在过点(1,1)Q的弦AB,使AB恰被Q平分.若存在,请求AB所在直线的方程;若不存在,请说明理由.22．（本小题满分14分）设,xyR,,ij为直角坐标平面内,xy轴正方向上的单位向量,若向量(2)axiyj,(2)bxiyj,且||||8ab.（1）求点(,)Mxy的轨迹C的方程;（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于,AB两点,设OPOAOB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.答案与解析（7）1．C.原点到12,FF的距离之和是长轴长24a,又22c,所以椭圆的离心率12cea.2．D.椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选D．3．答案选C依题意可知3293,322baca，2332ace，故选C．4．A设动圆圆心为(,)Mxy,动圆与已知半圆相切的切点为A,点M到y轴的距离为d,则有||||OAOMd,而dx,所以222xyx,化简得24(1)(01)yxx.5．D．将2yk代入2222918kxykx得：22229418kxkkx29||1840xx，显然该关于||x的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D．6．D．由题意知,0pq.若0,0pq,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D不表示椭圆;若0,0pq,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2cpq,双曲线的焦点在x轴上,选择支D的方程符合题意.7．A．由221(6)106xymmm知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由221(59)59xymmm知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A．8．A.一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项——既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是22221xyab或22221yxab（,0ab），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成2211/||xym。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方=4.即1:14||m，所以14m。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来9．D．由PABP2及,AB分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，3(,0),2Ax(0,3)By，3(,3)2ABxy，由点Q与点P关于y轴对称知，(,)Qxy，OQ=(,)xy，则2233(,3)(,)31(0,0)22OQABxyxyxyxy10．A.抛物线上任意一点（t，2t）到直线的距离22|438||348|55ttttd.因为244380，所以23480tt恒成立.从而有213485dtt，2min1438445433d.选A．11．D.由题意知,设21122(,1),(,1)PxxQxx,又因为(1,0)A,由PAPQ知,0PAPQ,即222112121(1,1)(,)0xxxxxx,也就是222121121(1)()(1)()0xxxxxx,因为121,1xxx且,所以上式化简得2111111(1)11(1)xxxxx,由基本不等式可得21x或23x.12．D.由题意知,要使所求的n最大,应使1||PF最小,||nPF最大,又F为椭圆的右焦点,设nP的横坐标为nx故由第二定义可得,||nnPFaex,其中12,2ae,所以当12x时,1||1PF,当2nx时,||3nPF最大.由等差数列的通项公式可得,1||||(1)nPFPFnd,即21nd,又因为1100d,解得201n.13．7倍.由已知椭圆的方程得1223,3,3,(3,0),(3,0)abcFF.由于焦点12FF和关于y轴对称,所以2PF必垂直于x轴.所以222133373(3,),||,||(33)()2222PPFPF,所以21||7||PFPF.14．35.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)=7a=35,所以应填35.15．1米.由题意知,设抛物线的方程为22(0)xpyp,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以8p.即抛物线方程为216xy.所以当4x时,1y,所以柱子的高度为1米.16．②③.由||||6MPPN可知点P在双曲线221916xy的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为43yx,直线①过原点且斜率5433,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y轴上的截距为523故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率413,故与双曲线的右支有一个交点.17．（1）设曲线方程为7642axy，由题意可知，764640a.71a.曲线方程为764712xy.（2）设变轨点为),(yxC，根据题意可知)2(,76471)1(,125100222xyyx得036742yy，4y或49y（不合题意，舍去）.4y.得6x或6x（不合题意，舍去）.C点的坐标为)4,6(，4||,52||BCAC.答：当观测点BA、测得BCAC、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.18．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22ax+122by)0(ba，其半焦距6c。||||221PFPFa56212112222，∴a53，93645222cab，故所求椭圆的标准方程为452x+192y；（2）点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：)5,2(P、'1F（0，-6）、'2F（0，6）设所求双曲线的标准方程为212ax-1212by)0,0(11ba，由题意知半焦距61c，|''||''|2211FPFPa54212112222，∴1a52，162036212121acb，故所求双曲线的标准方程