高三数学同步测试(4)

高中学生学科素质训练高三数学同步测试（4）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是（）A.4个B.7个C.12个D.16个2．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是（）ABCD时0612182437体温(℃)37体温(℃)时0612182437时06121824体温(℃)37时06121824体温(℃)3．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：10,20,2；20,30,3；30,40,4；40,50,5；50,60,4；60,70,2.则样本在,50上的频数为（）A.120B.14C.12D.7104．表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（）A．0623063201232yxyxyxB.0623063201232yxyxyxC．0623063201232yxyxyxD．0623063201232yxyxyx5．函数)(xfy的图象如图所示，则)(xf的解析式可能是（）A．xxxfcos)(B．xxxfsin)(C．xxxfcos)(D．xxxfsin)(6.已知向量a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),a与b的夹角为60，则直线1cossin02xy与圆221cossin2xy的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.随,的值而变化7．已知线段AD∥平面α，且与平面α的距离等于4，点B是平面α内动点，且满足AB＝5，若AD＝10，则点D与点B的距离d满足（）A.d的最大值为55，无最小值B.d的最小值为65，无最大值C.d的最大值为55，最小值65D.d的最大值为185，最小值为658．三人传球由甲开始发球，并作第一传球，经5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法共有（）A.6种B.8种C.10种D.16种9．半径不等的两定圆12OO、无公共点，动圆O与12OO、都内切，则圆心O是轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆C.双曲线的一支或椭圆D.抛物线或椭圆10．正三棱锥ABCS—的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为（）A．090B．060C．045D．03011．设二次函数5)(2axxxf对于任意t都有)4()(tftf，且在闭区间［m，0］上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（）A．2mB．24mC．02mD．04m12.某地每年消耗木材约20万3m，每3m价480元，为了减少木材消耗，决定按%t征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t25万3m，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，则t的范围是（）A.[1，3]B.[2，4]C.[3，5]D.[4，6]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13．右图表示周期函数y=f(x)的变化规律，由图象可以观察出f(x)的最小正周期是_______．14．要制造一个底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥，用一块长方形材料做它的侧面，这样的长方形的长与宽的最小值分别是.15．在二项式(13)nx和(25)nx的展开式中，各项系数之和记为,,nnabn是正整数，则2lim34nnnnnabab=16．函数f(x)满足f(nx)＝[f(x)]n，写出一个满足上述条件的函数_______．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）是否存在常数c，使得不等式yxyyxxcyxyyxx2222对任意正实数x、y恒成立？证明你的结论．yx2O注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.18．（本小题满分12分）（甲）如图，已知矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直，(I)如果AB=2，P为AB中点，求点P到平面CDEF的距离及二面角D—EC—P的正切值;(II)设AB=a，问在线段AB上是否存在点P使得EP⊥PC，并说明理由.(乙)如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=a2，BB1=a3，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，（Ⅰ）求直线BE与A1C所成的角；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．DEF1A1CBCAB119．（本小题满分12分）若数列na满足对一切*nN，0,1na，且21120nnnnaaaa，ns是数列na的前n项的和，求证：（I）11;2nnaa（II）12.nSa20．（本小题满分12分）已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：(I)事件A：指定的4个房间各有1人；(II)事件B：恰有4个房间各有1人；(III)事件C：指定的某个房间有2人.21．（本小题满分14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），)0,6(AB，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（I）若)5,3(AD，求点C的坐标；（II）当||||ADAB时，求点P的轨迹.22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数).(I)若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b、c的值；(II)若f(x)在x∈(-∞,x1)、(x2,+∞)上单调递增且在x∈(x1,x2)上单调递减,又满足x2-x1＞1,求证：b2＞2(b+2c)；(III)在(2)的条件下,若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明.高中学生学科素质训练高三数学同步测试（4）参考解答一、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.C7.D8.C9.C10.C11.B12.C二、填空题13．.5214．12cm,9cm.15．2116．f(x)＝xa等．三、解答题17．当yx时，由已知不等式得32c…3分下面分两部分给出证明：⑴先证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxx222yxxy，此式显然成立；………………7分⑵再证3222yxyyxx，此不等式)2)(2(2)2(3)2(3yxyxyxyyxxxyyx222，此式显然成立．………10分综上可知，存在常数32c，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．……12分18．（甲小题）(I)过P作PQ⊥CD于Q，则PQ=AD=1.∵平面ABCD⊥平面CDEF,∴PQ⊥平面CDEF.∴点P到平面CDEF的距离为1.………2分过P作PR⊥EC于R，连结QR，则QR⊥EC.∴∠PRQ为二面角D—EC—P的平面角.………4分∵55QR,△PQR中，PQ⊥QR.∴tan∠PRQ=5QRPQ…………6分(II)假定线段AB上存在点P使得EP⊥PC连结PD，由ED⊥平面ABCD知EP⊥PCPD⊥PC…………8分设∠BCP=，则BP=tan,AP=cot.∵AB=AP+PB,∴tan+cot=a,a………10分∵tan+cot≥2,∴当a≥2时,存在点P,使EP⊥PC;当0a2时,不存在点P,使EP⊥PC.………12分18（乙小题）（Ⅰ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．……2分2,90,2.OACaABCABBCa111(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,0,3),(0,2,3),(0,0,3),BCaAaAaaCaaBa2223(,,3),(0,,)2222DaaaEaa，…………3分1(2,2,3),23(0,,).22CAaaaBEaa，11113,2CAaBEa，222197022CABEaaa，117143cos143CABECABE．……………5分故BE与1AC所成的角为7143arccos143．…………6分（Ⅱ）假设存在点F，使1CFBDF平面，不妨设AFb，(2,0,),(2,2,)FabCFaab，1122(2,0,3),(,,0)22BFabaBDaa，……………8分22110,CFBDaaCFBD恒成立.……………………9分由212(3)02BFCFabbababa或，……………11分故当1,AFaaCFBDF或2时平面．……………………12分19．(I)由21120nnnnaaaa，得21120,nnnnaaaa……………4分所以11.2nnaa…………6分(II)由112nnaa，得212aa，322aa，432aa……，12nnaa，……………8分叠加这n个不等式，得121122nnaaaaaa，……………10分即12112122()2nnnaaaaaaaa，11222nnnSaSa，1122nnSaa，10,1na，12.nSa…………12分20．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法（I）指定的4个房间各有1人，有44A种方法，5416)(444AAP.…………4分（II）从6间中选出4间有46C种方法，4个人每人去1间有44A种方法，18566)(44644444AACBP.………8分（III）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有24C种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法.2162565)(4224CCP.……………12分21．（I）设点C坐标为（),00yx.又)5,9()0,6()5,3(ABADAC,……………3分即)5,9()1,1(00yx,6,1000yx,即点C（0，6）.…………6分（II）设),(yxP，则)1,7()0,6()1,1(yxyxABAPBP,…………8分)33,93()0,6())1(3),1(3(3)21(321321yxyxABAPABAPABMPABMCAMAC……………10分||||ADABABCD为菱形..0)33,93()1,7(yxyxADAC即0)33)(1()93)(7(yyxx)1(02221022yyxyx.…12分故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线1y的两个交点.…………14分22．(I)f/(x)=x2+(b-1)x+c,……………2分据题意知,1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根,∴1-b=1