高三数学四校联考模拟最新试题

高三数学四校联考模拟最新试题数学试题考生注意：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间150分钟。考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的。1．复数iiz21的虚部是（）A．1B．－1C．iD．－i2．已知集合}0,2|{}2|{2xyyBxxyxAx，R是实数集，则（B）∩A=（）A．[0，1]B．)1,0[C．]0,(D．以上都不对3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：（）甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性？A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知条件p:x≤1，条件，q：x11，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分也非必要条件5．若函数f(x)=sinax+cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（）A．（－8，0）B．（0，0）C．（－81，0）D．（81，0）6．若nxx)13(的展开式各项系数和为64，则展开式中的常数项为（）A．－540B．－162C．162D．5407．曲线)230(cosxxy与坐标轴所围成的图形的面积是（）A．2B．3C．25D．48．如图所示的程序输出结果为sum=1320，则判断框中应填（）A．i≥9B．i≥10C．i≤10D．i≤99．已知函数f(x)=2x的反函数f－1(x)满足f－1(a)+f－1(b)=4，则ba11的最小值为（）A．1B．31C．21D．4110．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在11．设偶函数f(x)=loga|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，则f(b－2)与f(a+1)的大小关系是（）A．f(b－2)=f(a+1)B．f(b－2)f(a+1)C．f(b－2)f(a+1)D．不能确定12．如图所示，在正三棱锥S—ABC中（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥为正棱锥）M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=23，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）A．45πB．32πC．12πD．36π第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中（除题目有特殊规定外）。2．答卷前将密封线内项目填写清楚。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知yxzkyxxyxzyx42,0305,,且满足的最小值为－6，则常数k=.14．观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论：.15．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），它的体积为cm3.16．已知两个点M（－5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|－|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1，②y=34x,③y=2，④y=2x+1，其中为“B型直线”的是.（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设nmkknAAm且),1)(1,4(),2cos,(sin的最大值是5，求k的值.18．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.2007031619．（本小题满分12分）有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点，依此记为a，b，c，d.把ABCD和a，b，c，d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右两边的字母全部连接起来，构成“一一对应”，已知每连对一个得2分，连错得0分；（Ⅰ）求该爱好者得分的分布列；（Ⅱ）求该爱好者得分的数期望.20．（本小题满分12分）已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x0时，f(x)1，且对任意的实数x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，（Ⅰ）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；（Ⅱ）数列{an}满足)()2(1)()0(*11Nnafaffann且,①求通项公式an的表达式；②令1322121111,,)21(nnnnnanaaaaaaTbbbSbn，试比较Sn与34Tn的大小，并加以证明.21．（本小题满分12分）已知动圆P与定圆B：0315222xyx内切，且动圆P经过一定点A（5，0），（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若已知点D（0，3），M、N在动点P的轨迹上，且DNDM，求实数的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题）BADACABBCBCD二、填空题（每小题4分，共4小题）13．014．n+(n+1)+…+(3n－2)=(2n－1)215．256+64π16．①③三、解答题（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分∵0Aπ,∴sinA≠0.∴cosB=21.…………………………………………………………………5分∵0Bπ，∴B=3.…………………………………………………………6分（II）nm=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，322）……………………………………9分设sinA=t，则t∈]1,0(.则nm=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈]1,0(.…………………………10分∵k1，∴t=1时，nm取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=23.………………………………………………12分（18）（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………………………………2分∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）……………………5分设n=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则,0011DCnBCn即)21,31,1(,030231111nyxzy取.…………6分易知CC1=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.723671||||,cos111CCnCCnCCn.…………………………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值为72.………………………………9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则.373,0)3(320)3(3,0011yyyyDCCPBCCP即∴方程组无解.∴假设不成立.……………………………………………………11分∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………………12分19．（I）解：设答对题的个数为y，得分为ξ,y=0，1，2，4∴ξ=0，2，4，8…………………………………………………………1分2499)0(44AP……………………………………………………3分312481)2(4424ACP…………………………………………5分412461)4(4424ACP…………………………………………7分2411)8(44AP………………………………………………9分则ξ的分布列为ξ0248P2493141241（II）Eξ=0×249+2×31+4×41+8×241=2答：该人得分的期望为2分………………………………12分20．解：（I）由题意，令y=0，x0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x0时，f(x)1.∴1－f(0)=0.f(0)=1.…………………………………………………………2分适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=(21)x.………………………………4分（II）①由递推关系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).∵f(x)的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………………………6分又a1=1，故an=2n－1.……………………………………………………7分②bn=12)21()21(nan,Sn=b1+b2+…+bn=21+(21)3+…+(21)2n－1nnnnnnnnnnnnnnnTSnnnnnaaaaaaT4)12()12(423)41121(32)1211(23)411(32349)1211(21)1211215131311(21)12)(12(1531311111).411(23)21(1])21(1[211322122分欲比较Sn与nT34的大小，只需比较4n与2n+1的大小.由=1，2，3代入可知4n2n+1，猜想4n2n+1.……………………10分下用数学归纳法证明（i）当n=1时，412×1+1成立（ii）假设当n=k时命题成立，即4k2k+1当n=k+1时，4k+1=4×4k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成立.由（i）（ii）可知，4n2n+1对于n∈N*都成立.故SnnT34.………………………………………………………………12分注：证明4n2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+.1231333221nnCCCnnnnn21．解：（I）定圆B的圆心坐标B（－5，0），半径r=6，因为动圆P与定圆B内切，所以|PA|+|PB|=6.所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆.………………2分设椭圆的方程为)0(12222babyax则2a=6，a=3，c=5∴b2=a2－c2=4.∴椭圆的方程为14922yx.……………………4分（II）设M(x1，y1)，N