高三数学期中考试学科素质训练

2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．函数xxy24cossin，[0,]6x的最小值为（）A．34B．1316C．78D．12．已知集合2{|1}Mxx，集合{|||1}Nxax，若NM，那么由a的值所组成的集合的子集个数（）A．1B．2C．3D．43．设m0，则直线2（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（）A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切4．若函数321()'(1)53fxxfxx，则'(1)f的值为（）A．2B．2C．6D．65．在RtABC中，1ABAC，如果一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点F在AB上，则这个椭圆的离心率为（）A．63B．21C．632D．6326．设奇函数()fx在[1,1]上是增函数，且(1)1f，若函数2()21fxtat对所有的[1,1]x都成立，当[1,1]a时，则t的取值范围是（）A．22tB．1122tC．2t或2t或0tD．12t或12t或0t7．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）A．y2－482x＝1（y≤－1）B．y2－482x＝1C．y2－482x＝－1D．x2－482y＝18．设x、yR，且2220xyx，则（）A．22680xyxB．22680xyxC．22430xyxD．22430xyx9．已知向量OB=(2,0)，向量OC=(2,2)，向量CA=(cos2，sin2)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是（）A．[0,4]B．[4,125]C．[125,2]D．[12,125]10．已知函数()2sin()(0)fxx的图象与直线1y的交点中距离最近的两点间的距离为3,那么等于（）A．6B．2C．1D．1211．已知数列1，1a，2a，4成等差数列，1，1b，2b，3b，4成等比数列，则212aab的值是（）A．12B．12C．12或12D．1412．已知1x是方程lg2006xx的根，2x是方程x·10x=2006的根，则x1·x2等于（）A．2003B．2004C．2005D．2006二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应的横线上）13．设x、y满足约束条件Nyxyxyxyx,0,040356056，则z=4x+3y的最大值为_________．14．4(2)xx的展开式中3x的系数是________．15．已知函数1(10)()1(01)xxfxxx，则()()1fxfx的解集为________．16．与圆x2+y2－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.三、解答题（本大题共6小题，满分74分）17．（本小题满分12分）已知ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式2cos4sin60xCxC的解集是空集．（1）求角C的最大值；（2）若72c，ABC的面积332S，求当角C取最大值时ab的值．18．（本小题满分12分）（理）设函数()fx与数列{na}满足关系：①1a，其中是方程()fxx的实数根；②1()()nnafanN．如果()fx的导数满足0'()1fx．（1）证明na；（2）试判断na与1na的大小，并证明你的结论．（文）在数列{}na中，11a，当2n时，其前n项和nS满足21()2nnnSaS．（1）求na；（2）设，求数列{}nb的前项和nT．19．（本小题满分12分）已知f（x）=loga11xx（a＞0，a≠1）.（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）当x∈（r，a－2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；（3）若f（x）≥loga2x，求x的取值范围.20．（本小题满分12分）设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有babfaf)()(＞0.（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－21）＜f（x－41）；（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围.21．（本小题满分12分）（理）点A是椭圆22221(0)xyabab短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，且APAB=9.（1）若(0,1)B，求椭圆的方程；（2）若(0,)Bt，求t的取值范围．（文）已知函数f(x)=x(x－a)(x-b)(0ab)．（1）设曲线y=f(x)在点O(0,0)处的切线为m，在点B(b,0)处的切线为n，试求m∥n的充要条件；（2）若f(x)在x=s及x=t处取得极值，其中st。求证：0satb．22．（本小题满分14分）（理）已知x轴上有一列点1P，2P，3P，，nP，，当2n时，nP是把11nnPP段作n等分的分点中最靠近1nP的点，设线段12PP，23PP，，1nnPP，的长度分别为1a，2a，3a，，na，其中11a．（1）写出2a，3a和na的表达式；（2）证明1a+2a+3a++na3；（3）设点(,)nnMna，在这些点中是否存在两个点同时在函数2(0)(1)kykx的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．（文）点A是椭圆22221(0)xyabab短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，且9APAB．（1）若(0,1)B，求椭圆的方程；（2）若(0,)Bt，求t的取值范围．参考答案1．答案C：xxy24cossin＝22cos1)22cos1(2xx＝22cos142cos2cos212xxx＝x2cos41432＝24cos14143x＝x4cos8187，∵[0,]6x，∴当8x，即42x时，函数有最小值78．评析三角变换中，三角函数的次数往往不一致，这时可从三角函数的次数入手，总体原则是化高为低。本题所给函数中含有四次方与平方，故应降次，利用降幂公式即可解决问题。还应注意角的范围[0,]6x及三角函数的有界性。2．答案D：由已知NM，有N和N两种情况：若N，那么方程||1ax无解，此时0a；若N，则有1||0xa，故11a，即1a．所以由a的值所组成的集合为{0,1}，有2个元素．故子集个数为224个．评析解答集合问题，要正确理解所给各个集合及符号的含义。本题求解的关键是正确理解NM，其中N可以是空集．3．答案C：解析：圆心到直线的距离为d=21m，圆半径为m.∵d－r=21m－m=21（m－2m+1）=21（m－1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C4．答案C：由321()'(1)53fxxfxx，∴2'()2'(1)1fxxfx，∴2'(1)(1)2'(1)(1)1ff，解得'(1)2f，∴2'()41fxxx，∴'(1)6f。评析本题主要考查多项式函数导数的求法及函数在某点处的导数值，5．答案A：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，AFm，∵1ABAC，90A，∴2BC，则422a，即2212a，21212ma，∴22m，由2221()(2)2c，得622c，∴622632212cea评析本题主要考查椭圆定义的应用，先利用定义求出2a的值，再求2c的值，即FC的长，需在RtAFC中求解，因此设法求AF的长，利用第一定义，水到渠成，求出AF以后，利用勾股定理即可求出2c的长，从而获解。6．答案C：由题意(1)1f，2()21fxtat在[1,1]上恒成立，即2max()(1)121fxftat恒成立，即220tat，即220att，又[1,1]a，∴222020tttt，得0220tttt或或，∴2t或2t或0t。评析解决恒成立问题的主要手段是分离利用函数的思想，转化为函数的最值问题。如本题先转化为2max()21fxtat，又转化为一次函数2()20faatt在[1,1]上恒成立问题，利用一次函数图象的特殊性，只须两个端点值成立即可。7．答案A：解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－482x＝1（y≤－1）.答案：A8．答案B由已知得22(1)1xy，满足题设的点(,)Pxy必在圆22(1)1xy的内部。点(,)Pxy必在圆22(1)3xy的外部。故选B。评析本题初看是一个不等式问题，若利用不等式的有关概念和性质处理，则不易求解。应利用线性规划的思想把2220xyx视为平面内满足条件的点，利用点在圆的内、外部解决。9．答案D：由题意，得：OA＝OC＋CA=(2+cos2,2+sin2)所以点A的轨迹是圆2)2()2(22yx，如图，当A位于使向量OA与圆相切时，向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值，故选D。评析本题直接用向量夹角公式求解，运算量大。先确定点A的轨迹是圆，利用向量与圆相切的极限位置定出夹角的范围，无须计算，解法优美。确定直线与圆锥曲线相交的参数范围，这个方法非常有效。10．答案B：设函数图象与直线1y的两个交点的坐标分别为1x、2x，且1x2x，则213xx，由题意12sin()1x，22sin()1x，即11sin()2x，21sin()2x，则16x①256x②，②①得212()3xx，得2。评析本题实质是考查三角函数的周期问题，把交点问题转化为三角方程问题，利用方程的思想求解即可。11．答案A：由1，1a，2a，4成等差数列，则21aa=(4)(1)3=1，又1，1b，2b，3b，4成等比数列，则22b=(－1)·(－4)=4，∴22b，又1，2b，4同号，故22b，∴212aab=12评析本题根据等差、等比数列的性质设法求出21aa及2b的值，即可解决问题，但应注意隐含条件：1，2b，4同号，否则易选C。12．答案D：由已知得2006lgxx，令1lgyx，22006yx。作出两个函数的图象，其交点横坐标为1x。同理令310xy，交2y的横坐标为2x。由对称性知2112006xyx，故x1·x2=2006.评析本题主要考查数形结合的数学思想，及函数图象的对称。首先把已知方程变形为容易做出函数图象的形式，利用对数函数与指数函数的对称性解决问题。13．答案36：作出可行域，如图。由40356056yxyx，得B(720,760)，作直线l：4x+3y=t，当直线经过点B时，z=4x+3y取得最大值，即4x+3y=3771由于x、y必须是整数，故4x+3y取得最大值可能是37。由60563734yxyx及40353734yxyx，得点1A(25,9)，2A(3,325)由1A、2A的横坐标知，线段1A2A上没有整