高等数学傅里叶级数

1/60(傅氏级数Fourierseries)第五、六节傅里叶(Fourier)级数一、问题的提出二、三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数四、正弦级数或余弦级数五、周期为2l的函数的傅里叶级数六、傅里叶级数的复数形式七、小结2/60上一节详细研究了一种重要的函数项级数:幂级数.下面研究另一种重要的函数项级数:这种级数是由于研究周期现象的需要而产生的.它在通讯、电工、力学和许多学科中都有很重要的应用.傅里叶级数.3/601757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,10cos2)(nnnxAAxf1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数.大胆地采用了历史朔源三角级数表示函数:20cos)(21nxdxxfAn其中4/60形所采用的三角级数方法进行加工处理,1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，特殊的情发展成一般理论.函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时1777年,欧拉在研究天文学的时候,用三角的系数,也就是现今教科书中傅里叶级数的系数.5/60在自然界和人类的生产实践中,周而复始的现象、周期运动是常见的:如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的往复运动,物体的振动,声、光、电的波动等.数学上,用周期函数来描述它们.最简单最基本的周期函数是)sin(tA谐函数简谐波简谐振动正弦型函数一、问题的提出6/60如矩形波tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波,sin4t,3sin314t,5sin514t,7sin714t除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象逐个叠加分解,9sin914tOtu117/60tusin411Otu222223238/60)3sin31(sin4ttuOtu11222223239/60)5sin513sin31(sin4tttuOtu112222232310/60)7sin715sin513sin31(sin4ttttuOtu112222232311/60)9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttuOtu112222232312/60设想一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便.反映在数学上,是把一个复杂的周期函数f(t))sin(nntnA的迭加,表示为各类正弦函数10)sin(nnntnAA谐波分析或再利用三角恒等式变形为10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA即13/60,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb.xt三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA0AnnAsinnnAcost函数f(t)满足什么条件,系数nnbaa,,0才能展为三角级数？如何确定?为简便计,先来讨论以为周期的函数f(x),2解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性(orthogonality)10)sincos(2nnnnxbnxaa14/60三角函数系二、三角函数系的正交性正交性:,1,cosx,sinx,2cosx,2sinx,cosnx,sinnxxd122orthogonalityxnxdcos2xnxdsin2[,],在一个周期区间上函数的自乘(平方)的积分为或2而任两个不同函数乘积的积分为0，即15/60xnxmxdcossin),2,1,(nm其中0xnxmxdcoscosnm,0nm,xnxmxdsinsinnm,0nm,1nxcosxd1nxsinxd016/601.傅里叶系数(Fouriercoefficient)10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有.)1(0a求220axxfad)(10xad20利用三角函数系的正交性两边积分1dsindcoskkkxkxbxkxa0010)sincos(2)(kkkkxbkxaaxfxdxdxd17/60.)2(na求xnxxfandcos)(1),3,2,1(n.)3(nb求xnxxfbndsin)(1),3,2,1(n19/60),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann20201()cosd,(0,1,2,)1()sind,(1,2,)nnafxnxxnbfxnxxn傅里叶系数10)sincos(2nnnnxbnxaa由这些系数作成的三角级数20/60称为函数f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)10)sincos(2nnnnxbnxaa注f(x)的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，级数的和也不一定是f(x).不能无条件的下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.所以,把符号“”它的傅里叶级数收敛，记为当f(x)满足什么条件时，并收敛于f(x)本身.换为“=”.21/602.狄利克雷(Dirichlet)充分条件它在的周期函数是周期为设函数,2)(xf:],[上满足条件区间;,)1(处处连续外除有限个第一类间断点(2)只有有限个极值点，(收敛定理)01(cossin)()2nnnaanxbnxSx(),[,]fxx则由产生的傅里叶级数在任一点都收敛且在上它的和函数为逐段光滑22/60当x是f(x)的连续点时()(),2fxfx当x是f(x)的间断点时当时x)(xS傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系),(xf由定理可知:在f(x)的连续点处,都收敛到f(x)自身即使有间断点,函数也有傅氏级数,间断点上级数不收敛到函数值,只不过在而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值收敛到左端点的右极限处在端点,x术平均值和右端点的左极限的算01(cossin)()2nnnaanxbnxSx,2)()(ff23/60(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成常说把f(x)在上展开成傅氏级数.],[(2)要注明傅氏级数的和函数与函数f(x)相等注幂级数的条件低得多;的区域.24/60设函数f(x)以为周期,且2.0,1,0,1)(2时当时当xxxxf其傅氏级数在处收敛于().x2225/60解上满足狄利克雷条件，在区间由于],[)(xf可以将f(x)展开为傅氏级数.因为)0(f)0(f所以,收敛于的傅氏级数在点xxf)(()()2ff,1)1(lim22xx,1)1(limx22.0,1,0,1)(2时当时当xxxxf其傅氏级数在处收敛于().x设函数f(x)以为周期,且227/60周期函数的傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).(1)画出f(x)的图形,31/60且为周期以函数,2)(xf,0,0,0,)(xxxxf解傅里叶系数xxfad)(100d1xx2例1将f(x)展开为傅里叶级数.f(x)的图象2323Oxy。。。。32/60xnxxfandcos)(10dcos1xnxx)cos1(12nn,22n,0,,5,3,1n;,6,4,2n])1(1[12nnxnxxfbndsin)(10dsin1xnxxnncos.)1(1nn,0,0,0,)(xxxxf33/60112sin)1(cos])1(1[14nnnnxnnxnxxx5cos513cos31cos2422.3sin312sin21sinxxx)(xf~故f(x)的傅里叶级数34/602323Oxy的图象)(xf由于f(x)满足狄利克雷充分条件,,),2,1,0()12(处不连续在点kkx+()()2ff收敛于).())12((xfkxx处收敛于在连续点220由收敛定理得和函数的图象22323Oxy35/60)(xfxx3sin313cos322x2sin21x4sin41xx5sin515cos522).,3,;(xxxxsincos2436/60上有定义;],[(3)F(x)可展为傅氏级数;注],[(2)[,]2()TFx在外补充定义成的函数);()(},{\),()4(xfxF间断点,)5(x作法对于非周期函数,如果f(x)只在区间上有定义,并且满足狄氏充要条件,也可展开成傅氏级数.(1)f(x)在(周期延拓);)].0()0([21ff级数收敛于周期延拓37/60解例2将函数,0(),0xxfxxx展开为傅氏级数.作周期延拓，验证条件xxfad)(100d2xx傅里叶系数Oxy2238/60xnxxfandcos)(1)1(cos22nxn]1)1[(22nnxxxf,)(0dcos2xnxx偶函数,6,4,2,0,5,3,1,42nnnxnxxfbndsin)(10奇函数39/6012)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为xxx5cos513cos31cos4222利用傅氏展开式求级数的和,0)0(,0fx时当222513118xxxf,)(42/60由奇函数与偶函数的积分性质系数的公式,易得下面的结论.和傅里叶nanb此时称傅里叶级数为nxbnnsin1即xnxxfandcos)(1),2,1,0(n0),2,1(nxnxxfbndsin)(120xnxxfdsin)((sineseries)正弦级数,sineseriesandcosineseries四、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为1.2(),fx当周期为的奇函数展成傅里叶级数时43/60nb此时称傅里叶级数为nxaann10cos2即),2,1(n),2,1(nna0dcos)(2xnxxfxnxxfandcos)(1xnxxfbndsin)(10注将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数是非常有用的.是否有奇偶性,0a0d)(2xxf(cosineseries)余弦级数,它的傅里叶