高三数学理科第一学期期末联考试卷

高三数学科第一学期期末联考试卷考试时间120分钟，满分150分命题人：郑启文审核人：张神驹第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知条件的是则条件qpxxqxp,0)3(:;1|32:|（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.已知两定点1(1,0)F、2(1,0)F且12FF是1PF与2PF的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A.221169xyB.2211612xyC.22143xyD.22134xy3.已知ABCD是边长为1的正方形，设+C+DABBAAB与的夹角为，则tan等于（）A．1B.2C.3D.24．若函数)sin()(xxf(2||,0)的部分图象如图所示，则有（）.A13.B13.C216.D2165．正四棱柱的底面边长是1，侧棱长是2，它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．6B．5C．6D．86.过抛物线24yx的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且AB弦长为7，则这样的直线（）A.不存在B.有无穷多条C.有且仅有一条D.有且仅有两条7．将函数)6sin(xy的图象向左平移m个单位所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是（）A．3B．6C．32D．658．已知、是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）A．nmnm则若,,//B．nmnm//,,//则若54321-1-2-3-4-224681012O3321yxC．//,,则若mmD．则若,,mm9．若f(x)=xa(a0且a1)，满足11()02f，则函数f(x)的图像沿m=(1，0)平移后的图像大致是()10．从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()A．12B．35C．32D．011.等差数列}{na中，20,873aa，若数列}1{1nnaa的前n项和为254，则n的值为（）A．14B．15C．16D．1812．函数))((Rxxfy满足：对一切;)(7)1(,0)(,2xfxfxfRx1,0x当时，,)125(5)250(2)(xxxxf则)32007(f（）A．3322B．32C．32D．2第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．函数()1lg(1)fxxx的定义域是。14．若数列na满足,,,,1nn23121aaa，aaaa是首项为1，公比为2的等比数列，则na等于。15．设实数,xy满足约束条件：2212xyxxy，则22zxy的最大值为．16．下列函数①xxf1)(；②xxf2sin)(；③||2)(xxf；④xxfcot1)(中，满足“存在与x无关的正常数M，使得Mxf|)(|对定义域内的一切实数x都成立”的有（把满足条件的函数序号都填上）.2007022801三、解答题：本大题有6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知),2(，且53sin（1）求)4cos(的值；（2）求4cos12cos4sin2sin22的值。18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab,当x(－∞,－3)(2,＋∞)时,f(x)＜0,当x(－3,2)时f(x)＞0.（1）求f(x)在[0,1]内的值域.（2）若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=4，AB=5，BC=3，AC=4，D为CC1的中点。（1）求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值；（2）试在线段AB上找一点E，使得：A1E⊥AD；（3）求点D到平面B1C1E的距离。20．（本小题满分12分）某高速公路指挥部接到通知，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道临时堤坝，以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，除现有施工人员外，还须调用翻斗车搬运m立方米的土方。已知每辆翻斗车每小时可搬运的土方量为480m，指挥部可调用25辆上述型号的翻斗车，但其中只有一辆可以立即投入施工，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工。（1）从第一辆车投入施工算起，第25辆车须多久才能到达？（2）24小时内能否完成防洪堤坝工程？请说明理由。21．（本小题满分12分）P是以12FF、为焦点的双曲线C：22221xyab（a＞0，b＞0）上的一点，已知12PFPF=0，122PFPF．（1）试求双曲线的离心率e；（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当12OPOP=-274，122PPPP=0，求双曲线的方程．22．（本小题满分14分）已知数列{na}中，112nnaa（n≥2，Nn），（1）若531a，数列}{nb满足11nnab（Nn），求证数列{nb}是等差数列；（2）在（1）的情况下，求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若211a，试证明：211nnaa．答案一、选择题：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.ACDCCDABBBCD二、填空题：13.1,1；14.21n；15.68；16.②③三、解答题：17.（1）由53sin得54cos………………………………2分102)5453(224sinsin4coscos)4cos(…………6分（2）原式2sincos12cos22cos2sin2cos1222521)54(532541……………………12分18、解(1)由题意得a＜0且ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的根为－3,2……………2分－3＋2＝8ba,(－3)×2＝aaba,从而a＝－3,b＝5……………………4分f(x)＝－3x2－3x＋18,对称轴为x＝12，可得f(x)∈[12,18]………………7分(2)由－3x2＋5x＋c≤0得c≤3x2－5x恒成立,得c≤－2512……………………12分19．解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，（1）∵ABBA//11，∴BAD（或其补角）为异面直线AD与A1B1所成的角，………………………2分，连结BD，在ACDRt中，∵AC=4，2211CCCD∴52AD，在BCDRt中，∵BC=3，CD=2，∴13BD，在△ABD中，∵AB=5，25582cos222ADABBDADABBAD∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为2558………………………………4分（2）证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴BCAC，∵底面ABC⊥侧面ACC1A1，∴BC⊥侧面ACC1A1，………………………………6分取AB、AC的中点E、F，连结EF、A1F，则EF//BC，∴EF⊥平面ACC1A1，∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影，在正方形C1CAA1内，∵D、F分别为CC1、AC的中点，∴ACDRt≌AFARt1，∴CADFAA1，∴901CADAFA，∴FAAD1，∴EAAD1（三垂线定理）………………8分（3）连结FC1，过D作DH⊥FC1，垂足为H。∵EF//BC，BC//B1C1，∴EF//B1C1，∴点F在平面B1C1E内。∵EF⊥平面ACC1A1，DH平面ACC1A1，EF⊥DH，………………10分∵DHFC1，FFCEF1，∴DH⊥平面B1C1E。在CFCRt1中，∵CFCCDHFC11，∴5525222DH。……………12分(本题用空间向量法来解，每小题对应给分)20．解：（1）设从第一辆车投入施工算起，各车到达时间依此为1t、2t、…、25t，依题意，它们组成一个首项为0，公差为31（小时）的等差数列，…………3分则25t=1t+24d，∴25t=24×31=8，答：第25辆车须8小时后才能到达。………………6分（2）设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间依次为1a、2a、…、25a，依题意，它们组成一个公差为－31（小时）的等差数列，且241a………………8分∵每辆车每小时的工作效率为4801，∴14804804802521aaa即4802)(25251aa，……………………10分又∵8)31(241125aaa，∴5192821a，即51231a，由于245123，可见1a的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成。答：24小时内能完成防洪堤坝。………………………………………………12分21．解（1）∵12||2||PFPF，12||||2PFPFa，∴1||4PFa，2||2PFa．∵12PFPF=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴5cea．…………………4分（2）由（1）知，双曲线的方程可设为222214xyaa，渐近线方程为2yx．……5分设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．………………………………………6分∵12122734OPOPxx，∴1294xx．∵1220PPPP，∴12122,32(2).3xxxxxy…………10分∵点P在双曲线上，∴22121222(2)(2)199xxxxaa．化简得，21298axx．∴29984a．∴22a．∴双曲线的方程为22128xy…………12分22．（1）1111111121nnnnnabaaa，而1111nnab，∴11111111nnnnnaaabb．)(Nn∴{nb}是首项为251111ab，公差为1的等差数列．……………4分（2）由（1）有nnba11，而5.31)1(25nnbn，∴5.311nan.对于函数5.31xy，在x＞3.5时，y＞0，0)5.3(12xy'，在（3.5，）上为减函数.故当n＝4时，5.311nan取最大值3.………………………………6分而函数5.31xy在x＜3.5时，y＜0，0)5.3(12xy'，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，3a＝－1.………………………………………8分（3）用数学归纳法证明21na，再证明nnaa1①当1n时，211a成立；………………………………………9分②假设当kn时命题成立，即21ka，当1kn时，1121ka)23,1(121kkaa211ka故当1kn时也成立，………………………………………11分综合①②有，命题对任意Nn时成立，即21na.…………12分（也可设xxf12)(（1≤x≤2），则01)(2'xxf，故1)1(f223)2()(1fafakk）.下证：nnaa10122)1(21kkkknnaaaaaannaa1.………………………14分（本小题若不用数学归纳法证明，需对应给分。）