高三数学归纳法及应用举例复习指导

高三数学归纳法及应用举例复习指导重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。例2．试证Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。综上所述：命题成立。点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，∴pn=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。②假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把空间分成pk=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面α上必有k条交线，∴平面α被分成2k个部分，∴pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2。∴当n=k+1时，pn=n2-n+2成立。综上①②可知对任何n∈N′，命题成立。点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等。例4．若不等式对一切正自然数n都成立，求自然数a的最大值，并证明你的结论。证明：n=1时，，即，所以a26，而a∈N，所以取a=25，下面用数学归纳法证明：。(1)n=1时，已证。(2)假设当n=k时，有：，则当n=k+1时，有所以①②知对一切n∈N′都有：。例5．在数列{an}中，已知a1=-lga,an-1=an-lgan-1(n≥2)，先求出a2,a3,a4，观察所得结果，推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。解析：因为an-1=an-lgan-1(n≥2)，所以an=an-1+(n-1)lga(n≥2)，又a1=-lga,所以a2=a1+(2-1)lga=-lga+(2-1)lga=(-1+2-1)lga,a3=a2+(3-1)lga=(-1+2-1+3-1)lga,a4=a3+(4-1)lga=(-1+2-1+3-1+4-1)lga。由此推判。下面用数学归纳法证明。（1）n=1时，，猜想正确。（2）假设n=k时，猜想正确，即，则，即n=k+1时，猜想也正确。由（1）（2）知，对于任意n∈N′，都有。训练题：1．用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数（n≥4,n∈N）时，f(k+1)与f(k)的关系是______。2．k为正偶数，p(k)表示等式，则p(2)表示等式______。p(4)表示等式______。由p(k)p(k+2)时，可在p(k)两边同时加上____。3．用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N′)能被14整除。4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N′)5．已知。（1）计算及的值。（2）归纳出(n∈N′)的值，再用数学归纳法加以证明。参考答案：1．f(k+1)=f(k)+k-12．3.①n=1时，36+53=61×14能被14整除。②假设n=k时命题成立，那么n=k+1时，也能被14整除（以下略）。4．①当n=1时，等式左边=2，等式右边=2，∴等式成立。②假设n=k(k∈N′)等式成立，即(k+1)(k+2)……(k+k)=2k·1·3·5……(2k-1)成立，那么n=k+1时，(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1)=2k+1·1·3·5……(2k-1)[2(k+1)-1]即n=k+1时等式成立。（以下略）。5．(1)，。(2)猜想(n∈N′)证明：①n=1，2时，已证。②假设n=k及n=k-1(k≥2)，命题成立，即，，则n=k+1时，（以下略）。（注意这种证明方法与前面的方法不同）