高三数学第一学期期末抽查试卷

高三数学第一学期期末抽查试卷一、填空题：1．函数xxy54log5.0的定义域为5,4。2．已知集合MaaxxNM,2,2,1,0，则集合NM2,0。3．函数xxysincos1的最小正周期是2。4．设复数iw2321，则21ww0。5．函数Rxxxycos21sin的最大值为25。6．方程021log31log22xx的解是217xx或。7．已知数列na的前n项和21nnSn，则nS的最小值为110（结果用数值表示）。8．将４名教师分配到３所中学任教，每所中学至少１名教师，则不同的分配方案共有36种。9．已知直线l过点0,2，当直线l与圆xyx222有两个公共点时，其斜率k的取值范围是42,42。10、计算：111212limnnnnniiii5。（其中i为虚数单位）11、设双曲线0,012222babyax的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列（公差不为零），则双曲线一个可能的方程为116922yx。12、关于x的方程axx562恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是4,0。13、若函数xpxxf在,1上是增函数，则实数p的取值范围是,1。14、对任意实数yx,，定义运算cxybyaxyx*，其中cba,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知63*2,42*1，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有xmx*，则m5。二、选择题：15、函数111xxy的反函数是（B）Ａ、1222xxxyＢ、1222xxxyＣ、122xxxyD、122xxxy16、点P从0,1出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达Q点，则Q的坐标为（A）A、23,21B、21,23C、23,21D、21,2317、ABC中，若BAcossin，则ABC为（C）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定18、已知nnnaanaa11,1，则数列na的通项公式na等于（D）A、12nB、11nnnC、2nD、n三、解答题19、解不等式组：2130862xxxx解：5,42,15124015042xxxxxxxx或。20、已知数列na的首项是51a，前n项和为nS，且,2,1521nnSSnn，求数列na的通项公式。解：5125211nSSnSSnnnn，两式相减，得1211211nnnnaaaa，∴12321111nnnnaaa。21、已知函数ZkRxxxkxkxf,23sin322316cos2316cos（1）求函数xf的最小正周期；（2）求函数xf在85,6上的值域。解：（1）xxkxkxf23sin32232cos232cosxxxx2cos4623sin423cos23sin32∴函数xf的最小正周期T。（2）∵x85,6，∴45,32x，∴21,12cosx，∴2,42cos4xxf。22、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为0kk，贷款的利率为6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。（1）若存款的利率为06.0,0,xx，试分别写出存款数量xg及银行应支付给储户的利息xh与存款利率x之间的关系式；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解：（1）存款量xgkx，银行应支付的利息xh2kxxxg。（2）设银行可获得收益为y，则22203.0206.006.006.0kxxkxkxkxkxy，当且仅当xx06.0，即06.0,003.0x时取到最大值。答：当存款利率定为%3时，银行可获得最大收益。23.已知babbaa02cossin,02cossin22抛物线M的方程为242xy（1）求抛物线M的准线l的方程；（2）求证：对任意Rba,，经过两点22,,,bbaa的直线与一定圆C想切，并求出圆C的方程；（3）设AB为定圆C的任意一条被直线l平分的弦，求证：所有这些弦所在的直线都与某一条抛物线有且仅有一个公共点。（1）解：抛物线M的准线l的方程为12x，即1x。（2）证明：∵babbaa02cossin,02cossin22，∴经过两点22,,,bbaa的直线方程为02sincosyx,∵原点到这条直线的距离2sincos222d，∴定圆C的方程为422yx。（3）证明：设AB与直线l的交点为tN,1，则tkAB1，AB的方程为012ttyx，由题意设抛物线方程为02xxny，把02xnyx代入AB的方程，得01022xttyny，由0，得1,40xn，即所有这些弦所在的直线都与抛物线142xy有且仅有一个公共点。24.已知函数,,22Rxxxxf且2x（1）求xf的单调区间；（2）若函数axxxg22与函数xf在1,0x时有相同的值域，求a的值；（3）设1a，函数1,0,5323xaxaxxh，若对于任意1,01x，总存在1,00x，使得10xfxh成立，求a的取值范围。解：（1）4242222222xxxxxxxf，易得xf的单调递增区间为,40,；单调递减区间为4,22,0。（2）∵xf在1,0x上单调递减，∴其值域为0,1，即1,0x，0,1xg。∵00g为最大值，∴最小值只能为1g或ag，若1g112111aaa；若ag1112112aaa。综上得1a。（3）设xh的值域为A,由题意知，0,1A。以下先证xh的单调性：设1021xx，∵033222212121212323121axxxxxxxxaxxxhxh，（1a332a，3222121xxxx），∴xh在1,0上单调递减。∴2153110502minmaxaaahhahh，∴a的取值范围是,2。