高三数学第三次质量检测试题

高三数学第三次质量检测试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一1.设f(x)=2＋arctgx,f(x)的反函数是f－1(x),则f－1(3)等于A.－33B.－3C.33D.32.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、CC1的中点，则直线EF与BD所成的角为A.90°B.６０°C.45°D.３０°3.不等式52xx＋1的解集为A.{x|－2x2}B.{x|－1≤x2}C.{x|－25≤x－1}D.{x|－25≤x2}4.50名乒乓球单打选手进行淘汰赛（胜者进入下一轮，败者淘汰出局），直至争出冠军，则共比赛A.47场B.48场C.49场D.50场5.(理)圆ρ=－sinθ的圆心的一个极坐标是A.（1，2）B.（1，23）C.（21，2）D.(21，23)（文）过点A（1，1）、B（－1，－1）且圆心在直线x－y－2=0上的圆的方程是A.（x－3）2＋(y－1)2=4B.(x＋3)2＋(y＋1)2=4C.(x＋1)2＋(y－1)2=4D.(x－1)2＋(y＋1)2=46.设a=21cos6°－23sin6°,b=250cos1,13tg113tg22c,,则有A.abcB.abcC.acbD.bca7.若双曲线的虚轴长为8，两顶点A（2，1）和A′(2,－5)，则其离心率是A.34B.35C.45D.538.等差数列{an}的首项a1=－5，它的前11项的算术平均数为5，若从中抽去一项，余下各项的算术平均数为4，则抽去的一项是A.a7B.a8C.a9D.a119.把一个面积为3π,顶角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的体积等于A.322B.22C.310D.32410.为了使函数y=sinωx(ω0)在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A.98πB.2197C.2199D.100π11.设圆（x－3)2＋(y＋5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则圆半径r的取值范围是A.4r6B.4≤r＜6C.4r≤6D.4≤r≤612.设函数f(x)=cxbax2的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是A.abcB.acbC.bacD.cab第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了___________米.14.以一个三棱柱的顶点为顶点的棱锥共有___________个.15.椭圆204522yx=1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为___________.16.有以下四个命题：①2n2n＋1(n≥3)②2＋4＋6＋……＋2n=n2＋n＋2(n≥1)③凸n边形内角和为f(n)=(n－1)π(n≥3)④凸n边形对角线的条数f(n)=2)2(nn(n≥4)其中满足“假设n=k（k∈N*，k≥n0)时命题成立，则当n=k＋1时命题也成立.”但不满足“当n=n0(n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是_________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知复数z1=［ii31)1(2］2,设z1在复平面上对应点A，如果点A、B及坐标原点O构成以OB为斜边的直角三角形，且∠AOB=30°,求点B对应的复数z2.18.（本小题满分12分）(理)过抛物线y=x2上定点C（1，1）引两条互相垂直的弦CA、CB，作CM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程.（文）过抛物线y=x2的顶点引两条互相垂直的弦OA、OB，作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD.（Ⅰ）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小；（Ⅱ）当ABAD的值等于多少时，能使PB⊥AC？请给出证明.20.（本小题满分12分）（理）已知{an}是等比数列，Sn为它的前n项和，且Sn＋an=4.(Ⅰ)求Sn;(Ⅱ)是否存在正整数c和k，使cScSkk12成立？（文）已知{an}是等比数列，Sn为它的前n项和，且Sn＋an=4.(Ⅰ)求Sn;(Ⅱ)是否存在正整数k,使21kkScS2成立？21.(本小题满分12分)已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图甲、图乙.图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l1=AB＋BC图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°,过水湿周l2=AB＋BC＋CD,若△ABC与梯形ABCD的面积都是S.（Ⅰ）分别求l1和l2的最小值；（Ⅱ）为使流量最大，给出最佳设计方案.22.（本小题满分14分）（理）已知函数f(x)在（－1，1）上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时，f(x)0,且对任意x、y(－1,1),f(x)＋f(y)=f(xyyx1).试证明：（Ⅰ）f(x)为奇函数；（Ⅱ）f(x)在（－1，1）上单调递减；（Ⅲ）1＋f(51)＋f(111)＋…＋f()21()1)2)(1(1nfnn=0.(n∈N*)（文）已知函数f(x)在（－1，1）上有定义，f(21)=－1，当且仅当0x1时，f(x)0,且对任意x、y(－1,1),f(x)＋f(y)=f（xyyx1）.试证明：（Ⅰ）f(0)=0且f(x)为奇函数；（Ⅱ）若对数列{xn}满足：x1=21,xn＋1=212nnxx,f(xn);(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，求1)()(1limnnnxfxf.高三数学第三次质量检测试题答案一、1.A2.B3.D4.C5.D6.C7.B8.D9.A10.B11.A12.B二、13.30014.1815.416.②③三、17.解：2213sin3cos)4sin()4cos()3321(2)2222(2iiiiz2分)67sin()67cos()127sin()127cos(2ii4分=ii212365sin65cos6分∵Rt△OAB中，∠AOB=30°∴点B对应的复数)6sin()6cos(3112izz8分)2123(332)2123(ii∴izz3333222或12分注：①1z可用代数式直接计算；②2z可据图形，由平面几何、三角知识计算.18.(理)解：设),,(),,(22nnBmmA则直线AB方程为：nmnxnmny2222分即mnxnmy)(4分∵CA⊥CB，1)1)(1(111122nmnnmmkkBCAC即m＋n＋mn=－26分故直线AB方程为：y=(m＋n)x＋m＋n＋28分即y=(m＋n)(x＋1)＋2∴直线AB过定点D(－1，2)，又CM⊥AB∴点M在以CD为直径的圆上10分其方程为：45)23(22yx12分注：①由于点C是点M的极限点，是否除去该点，评分时不予考虑；②可引进AC斜率k为参数；③求轨迹可用交轨法.(文)解：设点),(),,(22nnBmmA,则直线AB方程为：nmnxnmny2222分即mnxnmy)(4分又OA⊥OB，∴1mnkkOBOA6分∴直线AB方程为：1)(xnmy8分即直线AB过定点C(0，1)∵OM⊥AB，∴点M在以OC为直径的圆上10分∴点M方程为：41)21(22yx即：022yyx12分注：①由于原点O是点M的极限点，是否除去点O，评分时不予考虑；②可引进OA斜率k为参数；③求轨迹可用交轨法.19.解：(Ⅰ)设平面PAB∩平面PCD=l∵AB∥CD∴AB∥面PCD∴AB∥lCD∥l2分∵平面PAD⊥底面ABCD，且AB⊥AD∴AB⊥面PAD∴AB⊥PA，AB⊥PD4分∴l⊥PA,l⊥PD∴∠APD为二面角AB—l—CD的平面角∵△PAD为正三角形∴∠APD=60°6分(Ⅱ)当2ABAD时，PB⊥AC7分取AD中点H，连PH、HB，则PH⊥AD∵侧面PAD⊥底面ABCD∴PH⊥底面ABCD9分在Rt△HAB中，tg221ABAH在Rt△ADC中，tg222ADCD∴∠1=∠2又∠2＋∠3=90°∴∠1＋∠3=90°∴HB⊥AC11分故PB⊥AC注：①若作l∥AB,必须证明l是平面PAB与平面PCD的交线；②由于2ABAD是PB⊥AC的充要条件，第(2)问可用逆推法.20.(理)解：(Ⅰ)由于4nnaS,令n=1,2.得2,221aa,因为{an}是等比数列∴q=212分∴nnnS224211)21(124分(Ⅱ)假设存在正整数c、k使不等式成立，即022)4(23)4(22424211211kkkkkkcccccScS6分kkc11234228分32)4(21kc10分∵c、k是正整数，∴12)4(kc是整数，与上式矛盾故不存在正整数c、k使不等式成立.12分注：第(2)问推理方式较多，视情况酌情给分.(文)解：(Ⅰ)(同理)nnS2244分(Ⅱ)0222223222422422211211kkkkkkSS6分12321k8分32211k10分∵k是正整数，2k－1也是正整数.故不存在正整数k使不等式成立.12分21.解：(Ⅰ)在图甲中，设∠ABC=θ,AB=BC=a,则SaS由于,sin212、a、sin皆为正值，可解得：sin2Sa≥S23分当且仅当sinθ=1,即θ=90°时取等号∴al21≥2S2在图乙中，设60,,BADnBCmCDAB由可求得：nmAD由232,23)(21mmSnmnmnS解得5分∴2332232222mmSmmSmnml≥SS432328分当且仅当334,2332Smmms即时取等号10分(Ⅱ)由于432,则l2的最小值小于l1的最小值11分故在方案②中当l2取得最小值时的设计方案(334Sm)为最佳方案12分22.(理)证明：(Ⅰ)由0),1()()(yxxyyxfyfxf令得)0()0()0(fff∴0)0(f1分令0)0()1()()(,2fxxxfxfxfxy则即)()(xfxf∴f(x)为奇函数3分(Ⅱ)先证在(0，1)上f(x)单调递减.令1021xx.)1()()()()(12121212xxxxfxfxfxfxf4分∵1021xx∴012xx0112xx∴011212xxxx又0)1)(1()1()(121212xxxxxx5分∴12121xxxx∴012121xxxx16分由题设条件知f（12121xxxx）0即)()(12xfxf故在(0，1)上f(x)单调递减成立7分又由f(x)为奇函数，可知f(x)在(－1，1)上单调递减.8分(Ⅲ)由题设条件可得)1()1111()1()1(xyyxfxyyxfyfxf∴)1)2)(1(1()2)(1(1)1()2(()11()21(nnfnnnnfnfnf11分∴)11