高三数学第八章能力训练

高三数学第八章能力训练(一)选择题1.给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.两球体积和是12π，且两球大圆周长的和是6π，则这两个球半径的差是()A.3B.2C.1D.0.53.地球表面北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度差为180°，A、B两点沿纬度圈的距离与地球表面A、B两点最短距离的比是()A.3：2B.2：3C.3：4D.4：34.如图，已知圆台的轴截面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝12，CD＝6，点E是下底面圆O上的一点，∠ABE＝30°，则DE与CO所成角α的正切的值等于()A.339B.15C.315D.465.球O的半径R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为2R，B与C的球面距离为3R，则球O在二面角B-OA-C内的部分的体积是()A.91πR3B.31πR3C.92πR3D.278πR36.三棱锥A-BCD的高AH=33a，且H是底面△BCD的垂心，若AB=AC，二面角A-BC-D为60°，G为△ABC的重心，则HG的长为()A.10aB.7aC.6aD.5a7.底面半径为R，高为H的圆锥的内接正方体的棱长为()A.RHRH22B.RHRH2C.RHRH22D.RHRH328.如下图，已知AA′B′B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上一点，且∠CAB＝α，∠CA′B＝β，∠ABA′＝θ，则α、β、θ三个角之间的关第是()A.sinαcosθ=sinβB.cosαcosθ=cosβC.sinα=sinβcosθD.cosα=cosβcosθ9.用一张半径为R的圆形滤纸，做一个容量最大的过滤器(圆锥体)，则将这个圆形滤纸剪去一个扇形的中心角θ(弧度)应是()A.2π-322πB.2π-362πC.3D.610.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底边长：侧棱长：下底边长＝1∶2∶3，则其面对角线AD1与B1C所成角的余弦值为()A.75B.6524C.-73D.73(二)填空题11.圆锥的侧面展开图是一个半圆，有一个半球的底面恰好为该圆锥的底面，半球面将圆锥侧面分成上、下两部分，这两部分面积分别是S1、S2，则S1∶S2＝.12.把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等的小金属球(设损耗为零)，将这些小金属球表面涂漆，需用油漆.13.如图，一块铁皮呈等腰梯形状，两底分别为4a，2a，高SC为a，S是AA′的中点，将梯形沿虚线折成一个四棱锥S-ABCD的侧面(如图)(A重合于A′)，该四棱锥的体积为.14.正四棱台ABCD-A1B1C1D1，上底AB=1，下底A1B1=2，侧棱AA1与底面成60°角，则侧面梯形ABB1A1的对角线BA1与下底面所成的角为.15.如图，在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、H、G为垂足，若将正△ABC绕AD旋转一周所得圆锥的体积记为V，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值是.(三)解答题16.设圆台的高为h，母线与下底所成的角为α，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积.17.已知球的外切圆台的体积是球体积的47倍，求这个圆台的母线与底面成角的大小.18.求半径为R的球内接圆锥侧面积的最大值.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝5cm，AD＝8cm，∠BAD＝60°，PA＝740cm，且PA⊥平面ABCD，点E在PA上，且PC∥平面BED.①求这个四棱锥被截面BED分成两部分的体积；②求顶点A到截面BED的距离。20.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是Rt△ABC，∠A＝90°，且BC1⊥AC，作C1H⊥底面ABC，垂足为H。①试判断H点的位置，并说明理由。②若AB＝AC＝2，AC1＝27，侧棱与底面成60°角，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.21.已知AA′B′B是圆柱的轴截面，C是上底面圆周上不同于A，B的一点.①求证平面BA′C⊥平面AA′C；②当棱锥A′-ABC的体积V′和圆柱的体积V的比是1：23，求二面角B-AA′-C的大小；③设A-A′B-C为α，又∠CAB=β，∠CA′B=γ，求证sinα=coscos.参考答案：(一)1.A2.C3.A4.C5.C6.B7.C8.A9.B10.D提示：5.可求得二面角B-OA-C的平面角就是∠BOC=60°，因此两个半圆面所夹的体积是球体积的61.(二)11.1∶312.9.6kg13.32a314.arctg51515.5∶8(三)16.设圆台的截面A1ABB1，上、下底半径分别为r和R，母线长为l，A1D⊥AB于D，则A1D＝h，∠A1AB＝α，则BD＝h·tgα，而BD＝R+r，即BD＝R+r＝h·tgα，t=h·cscα.S侧＝π(R+r)l=πh2secα.17.画出轴截面图，设圆柱上、下底半径分别为a、b，可依题设条件求得内切球半径R=ab，由47球台VV得322)(34)(23ababbaab=47，化简得b=2a，易知母线与底面所成角θ的正切值tgθ=abk2=2，因此母线与底面所成角为arctg2.18.设圆锥顶角为2α，则母线l=2Rcosα，底面圆半径r=Rsinα，则圆锥侧面积.S=πγl=2πR2sin2αcosα=4πR2sinαcos2α其中令y=sinαcos2α，则y2=sin2αcos4α=sin2α(1-sin2α)2=21·2sin2α·(1-sin2α)(1-sin2α)≤21〔3)sin1()sin1(sin2222aaa〕3=274当2sin2α=1-sin2α即sinα=33时，等号成立，∴y≤932∴S≤938πR2即圆锥侧面积的最大值是938πR2.19.①如图，AB∩BD＝O，则OE是平面BED和平面APC的交线，由PC∥OEE是PA中点，从而EA＝720。易知VE-ABD＝213200，VEPBCD＝VP-ABD＝73200(cm3).②作AF⊥BD，垂足为F，连EF，易证平面EAF⊥平面BED，作AH⊥AEF中，AE＝720cm，AF＝7320cm，EF＝740cm，可知∠FEA＝60°，因此AH＝AE。sin60°＝3710(cm)，即为所求A到平面BED的距离.20.①C1H⊥平面ABC，连结BH，则BH是BC1是在平面ABC的射影。BC1⊥AC，BH⊥AC，又BA⊥AC，而在平面ABC内，过B只有一条直线垂直于AC，故BA，BH重合，故H点在BA直线上。②连结CH，则∠C1CH＝60°，设C1H＝x，则CH＝33x，在Rt△CAH中，AH1＝(33x)2-22，在Rt△C1HA中，AH1＝(27)2-x2，31x2-4＝28-x2，x2＝24，x＝26，又S△ABC＝21×2×2＝2，V棱柱＝2·26＝46。21.①略.②易知∠BAC是二面角B-AA′-C的平面角，设圆柱底半径为r，高为h，∠CAB=β，则VA′-ABC=31·S△ABC·h=31·21·2sinβ·2rcosβ·h=31r2sin2β又圆柱体积V=πr2h，由VA′-ABC：V=1:23，得sin2β=23，2β=60°或120°，故二面角B-AA′-C，为60°或30°.③由①得平面BA′⊥平面AA′C，作AE⊥A′C，则AE⊥平面BA′C，作EH⊥A′B，连结AH，可知∠AHE是二面角A-A′B-C的平面角，∠AHE=α，sinα=AHAE，其中AE=AC·cos∠AA′C=2rcosβ·CAAA；AH=AB·cos∠AA′B=2r·CAAArrCAAArBAAAcos2cos2，∴coscosAHAE，即sinα=coscos.