高三数学测试题—直线与平面(10)

高中学生学科素质训练高三数学测试题—直线与平面（10）一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．直线c、d与异面直线a、b都相交，则直线a、b、c、d可确定平面的个数是（）A．2B．3C．3或4D．2或32．下列命题中正确的是（）A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3．如果命题“若yyx,∥z，则zx”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是（）A．x、y、z都是直线B．x、y、z都是平面C．x、y是直线，z是平面D．x、z是平面，y是直线4．设A表示点a、b、c表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不同的平面，那么下列命题的逆命题不能成立的是（）A．a⊥α，若b⊥α，则a∥bB．a⊥α，若a⊥β，则α∥βC．在是bcAaba,,内的射影，若a⊥c则a⊥bD．a⊥α,若b∥α，c∥a，则a⊥b,c⊥b5．如图，正四棱锥的各棱长相等，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（）A．32arcsinB．33arccosC．60°D．22arctg6．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，a与b成30°，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离是（）A．22B．25C．142D．57．正四面体棱长为a，过其一条棱的截面面积的最小值是（）A．222aB．242aC．233aD．22a8．二面角l的平面角为120°，在α内，AB⊥l于B，AB=2，在β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值是（）A．25B．22C．26D．629．在空间四边形中，若AB=CD，BC=AD，AC=BD，则∠BAC、∠CAD、∠DAB的和的大小为（）A．90°B．在区间（0，90°]C．180°D．在区间（90°，180°）10．等边△ABC边长是1，以BC边上的高AD为轴折成60°和二面角，则此时点A到BC的距离是（）A．415B．43C．26D．313二、填空题（本题11—14小题每小题4分，15—16小题每小题5分，共26分）11．ABCD—A1B1C1D1为正方体，其中二面角B—AC1—C的大小是.12．长方形ABCD与长方形CDEF所在二平面垂直，设AF与平面BD所成的角为α，AF与CD两异面直线的角为β，且AB、BC、CF的长分别为4、3、2则cosα·cosβ=.13．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为22arctg，则它的侧棱与底面所成的角为.14．棱长为a的正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M到BC的距离是.15．已知正方形ABCD，E、F分别为AD、BC中点，AC交EF于O，现沿AC折成直二面角，则折起后∠EOF的度数为.16．在棱长均为a的平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，各表面四边形的锐角均为60°，则二面角A1—AD—C（锐角）的余弦值为.三、解答题17．（本题满分12分）长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB和对角线A1C的中点.（1）求证：MN⊥AB；（2）若MN是异面直线AB、A1C的公垂线，求二面角A1—DC—A的度数.18．（本题满分12分）已知三棱锥P—ABC的底面是边长为a的正三角形，PC⊥底面ABC，PC=a，O、E分别为棱AC、PA中点.（1）求证：平面EBO⊥平面ABC；（2）求点E到平面PBC的距离.19．（本题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，底面边长为3，侧棱长为4，连CD1，作C1M⊥CD1，交DD1于M.（1）求证：BD1⊥平面A1C1M；（2）求二面角C1—A1M—D1的大小.20．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面是矩形,又A1A=AB，E、F分别是BD1和AD中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线；（3）若M为B1C1中点，求证：平面A1FCM⊥平面BCD1.21．（本题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC和平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数.22．（本题满分14分）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点.（1）求证：MN⊥AB；（2）设平面PDC和平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ，使得直线MN为异面直线AB与PC的公垂线，若能，求出对应的θ值；若不能，说明理由.高三数学测试题参考答案十、直线与平面一、选择题1．C2．D3．C4．D5．B6．A7．B8．C9．C10．A二、填空题11．60°；12．2920；13．33arccos；14．a419；15．120°；16．31三、解答题17．（1）证明∵ABCD—A1B1C1D1为长方体，∴ACC1A1为矩形.BDD1B1为矩形，∵N为A1C中点，∴AN=.212111BNBDCA又M为AB中点，∴MN⊥AB.（2）解：易知A1A⊥底面ABCD，AD⊥DC，连A1D，则∠A1DA为二面角.A1—DC—A的平面角，∵MN为异面直线AB与A1C的公垂线，∴MN⊥A1C.∵N为A1C中点，∴MC=MA1.∵MC2=MB2+BC2，,,22121221BCAAAAMAMA即A1A=BC=AD，∴∠A1DA=45°.18．（1）证：∵E、O分别为AP、AC中点，∴OE∥PC，∵PC⊥平面ABC，∴OE⊥平面ABC，∵OE面EOB，∴平面EBO⊥平面ABC.（2）解：∵OE∥PC，∴OE∥平面PBC，则点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离.作OD⊥BC于D，∵PC⊥OD，∴OD⊥平面PBC，即OD为点O到平面PBC的垂线段.∵△ABC为正三角形,aaOD432321，即点E到平面PBC的距离为a4319．（1）证：∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱，∴BB1⊥A1B1C1D1，且B1D1⊥A1C1，∴BD1⊥A1C1，又∵BC⊥平面C1CDD1，CD1为BD1在平面C1CDD1上的射影，∵CD1⊥C1M，∴BD1⊥C1M，∴BD1⊥A1C1M.（2）解：∵C1D1⊥平面A1D1M，作D1E⊥MA1于E，连C1E，则∠C1ED1为二面角C1—A1M—D1的平面角.∵C1C=4，C1D1=3，∴CD1=5，∵MC1⊥CD1，设∠C1MD1=α，则.111MDDCtg/49343,43,34111111111111MAMADAMDEDMDDCCCCCDtgtg,1733)43(22.31717/3111111EDDCEDCtg二面角C1—A1M—D1的大小为.317arctg20．（1）解：取BC的中点G，连EG，则EG∥D1C，∴∠GEF为异面直线CD1与EF所成的角.设AB=AA1=a,∵D1F=,422BFADa∴EF⊥BD1，∵BC⊥平面CDD1C1，∴BC⊥CD1，∴BC⊥EG，又BC⊥FG，∴BC⊥平面EFG，BC⊥EF，∴EF⊥平面BCD1，EF⊥EG，∠GEF=90°.（2）证：由（1）知EF⊥BC，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（3）证：显然BCD1A1为，∵E为BD1中点，∴E也是A1C的中点，即EF平面A1FCM，∵EF⊥平面BCD1，∴平面A1FCM⊥平面BCD1.21．（1）证：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G为垂足，∵截面A1EC⊥侧面AC1，∴EC⊥侧面AC1；取AC的中点F，连BF、FG，由AB=BC得BF⊥AC，∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，则BF∥EG，B、E、F、G共面，∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF为平行四边形，BE=FG，∵AF=FC，∴A1G=GC，∴FG∥21AA1=21BB1，即BE=21BB1，∴BE=EB1.（2）解：设AA1=A1B1=a，平面A1EC与平面A1B1C1所成角为θ，则有.23,22,251212111aEGaGAaEBBAEA212243,,4622,43111111111aSECASaaaSCBACBACBA且在底面的射影为45,2246/43cos221111aaSSECACBA22．（1）证：∵PB⊥矩形ABCD，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC与△PAC都是Rt△.∵N为PC中点，∴AN=21PC=BN，∵M为AB中点，∴MN⊥AB（2）解连PD，∵AD⊥DC，∴PD⊥CD，∠PDA为平面PDC与平面ABC所成二面角的平面角，∠PDA=θ.设AB=a，PA=AD=b.则PM=,41,4122222222abBMBCCMabAMPA即PM=CM，∵N为PC中点，∴MN⊥PC，由（1）知MN⊥AB，即MN为异面直线PC和AB的公垂线，此时45,1ADPAtg，故能够确定满足条件的θ值，且θ值唯一.