高三数学八校联考(理)

西安地区八校联考2007届高三年级数学（理）试题命题人：西工大附中许德刚审题人：西安铁一中刘康宁注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。2．考生须到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答卡上填涂对应的试卷类型和信息点。3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(球的表面积公式24RS，其中R表示球的半径球的体积公式334RV球，其中R表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U为全集，M、P是U的两个子集，且PMPPMCU则,)(等于（）A．MB．PC．CUPD．○2．若复数iaz32为纯虚数，其中Ra，i为虚数单位，则aiia12007的值为（）A．－1B．－iC．1D．i3．在空间中，设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．α⊥β且mβB．α⊥β且m//βC．α//β且m⊥βD．m⊥n且n//α4．已知圆1)2()4(:221yxC与圆1)4()2(:222yxC关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x－y=0B．x+y=0C．x－y+6=0D．x+y－6=0陕师大附中西安中学西安交大附中西安市83中长安一中西安高新一中西安铁一中西工大附中5．设O为平行四边形ABCD的对称中心，212132,6,4eeeBCeAB则等于（）A．OAB．OBC．OCD．OD6．某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽4个参加一项公益活动，则不同的抽取方法共有（）A．40种B．70种C．80种D．240种7．若0a1，则函数||)(xxaxfx的图象的大致形状是（）8．若*)(123Nnxxn的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为（）A．462B．252C．210D．109．若点P（a,3）到直线4x－3y+1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y－30表示的平面区域内，则a的值为（）A．－3B．3C．7D．－710．如图1，正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，则动点P的轨迹是（）A．线段B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11．在△ABC中，tanA是第3项为－4、第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为31，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形12．设函数),(||)(Rcbcbxxxxf，给出下列四个命题①若c=0，则f（x）为奇函数；②若b=0，c0，则方程f（x）=0只有一个实根；③函数y=f（x）的图象关于点（O，C）成中心对称图形；④关于x的方程f（x）=0最多有两个实根.其中正确的命题是（）A．①、③B．①、④C．①、②、③D．①、②、④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上）13．函数3)sin3)(coscos3(sinxxxxy的最小正周期是.14．正三棱锥S—ABC内接于球O，且球心O在平面ABC上.若正三棱锥A—ABC的底面边长为a，则该三棱锥的体积是.15．如图2，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，AB、AC边上的高分别为CD、BE，则以B、C为焦点，且经过D、E两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.16．在直角坐标平面内，已知点到P1（1、2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n,2n），…如果n为正整数，则向量nnPPPPPPPP212654321的坐标为.（用n表示）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在直角坐标平面内，已知三点A（3，0）、B（3，0）、C（cos，sin），其中).23,2(（Ⅰ）若|,|||BCAC求角的弧度数；（Ⅱ）若tan12sinsin2,12求BCAC的值.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相等的3个白球、2个红球和n和黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球得0分，用表示所得分数，已知得0分的概率为61：（Ⅰ）袋中黑球的个数n；20070322（Ⅱ）的概率分布列及数学期望E.19．（本小题满分12分）如图3，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=2.（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A—PB—D的大小.20．（本小题满分12分）设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf.（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式|f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围.21．（本小题满分12分）设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2，它的两条渐近线与以A（0，1）为圆心、22为半径的圆相切。直线l过点A且与双曲线的左支交于B、C两点.（Ⅰ）求双曲线的方程.（Ⅱ）若,BCAB求直线l的方程；≠22．（本小题满分14分）已知曲线C：nAACxxf,,)(2上点的横坐标分别为1和),3,2,1(nan，且a1=5，数列{xn}满足xn+1=tf（xn－1）+1（t0）,且（1,21tt）.设区间),1](,1[nnnaaD当nDx时，曲线C上存在点)),(,(nnnxfxP使得点Pn处的切线与直线AAn平行.（Ⅰ）证明：}1)1({logntx是等比数列；（Ⅱ）当1nDnD对一切*Nn恒成立时，求t的取值范围；（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，当41t时，试比较Sn与n+7的大小，并证明你的结论.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．D2．B3．C4．A5．B6．A7．D8．C9．A10．D11．B12．C二、填空题（每小题4分，共16分）13．14．3121a15．3216．)14(32n三、解答题（共74分）17．（Ⅰ）)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC（2分）∴由2222)3(sincossin)3(cos|,|||得BCAC即cos=sin.（4分）又),23,2(∴45（6分）（Ⅱ）由1BCAC，得cos（cos－3）+sin（sin－3）=－1即sin+cos=.32（8分）两边平方，得2sincos=95.（9分）cossin1cossin2sin2tan12sinsin22295cossin2（12分）18．（Ⅰ）∵,61)0(252nnCCP（3分）∴,0432nn解得n=－1（舍去）或n=4.即袋中有4个黑球.（5分）（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3，4.（6分）∵,61)0(P,31)1(291314CCCP,3611)2(29121423CCCCP,61)3(291213CCCP,361)4(2922CCP（8分）∴的概率分布列为01234P6131361161361（10分）.914361461336112311610E（12分）19．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2∴PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD.（3分）又PD⊥平面ABCD.（6分）（Ⅱ）如图，连结AC交BD于O，则AC⊥BD.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.∴AC⊥平面PBD.（8分）过O点作OE⊥PB于E，连结AE，则AE⊥PB，故∠AEO为二面角A—PB—D的平面角.（10分）由Rt△OEB∽Rt△PDB，得OE=66PBOBPD.∴tan∠AEO=,3OEAO即∠AEO=60°（22分）20．（Ⅰ）2234)(aaxxxf（1分）令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）（4分）∴当x=a时，)(xf极小值=;433ba当x=3a时，)(xf极小值=b.（6分）（Ⅱ）由|)(xf|≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）∵0a1，∴a+12a.∴]2,1[34)(22aaaaxxxf在上是减函数.（9分）∴.44)2()(.12)1()(minmaxaafxfaafxf于是，对任意]2,1[aax，不等式①恒成立，等价于.154.12,44aaaaa解得又,10a∴.154a（12分）21．（Ⅰ）依题意，设双曲线方程为).0(1222bbyx∴双曲线的两条渐近线为ybx=0（2分）又圆A的方程为.21)1(22yx∴,22112b得b=1.故所求双曲线方程为.122yx（6分）（Ⅱ）显然，l与x轴不垂直，设l：y=kx+1.由022)1(,112222kxxkyxkxy得（8分）显然，,012k设B（x1,y1）、C（x2,y2）（x10,x20）则.21.012,012,0)1(8422122122kkxxkkxxkk得（9分）又由.2,12xxBCAB得（10分）≠∴53.122,12322121kkxkkx解得故553,153:yxxyl即=0（12分）22．（Ⅰ）∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行，∴.21,1122nnnnnaxaax即（1分）由211)1(1,1)1(nnnnxtxxtfx得（2分）∴),1(log21)1(log1ntntxx即].1)1([log21)1(log1ntntxx∴}1)1({logntx是首项为tlog2+1为首项，公比为2的等比数列.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)1(logntx=（tlog2+1）·2n-1，∴12)2(11nnttx从而an=2xn－1=1+12)2(2ntt（6分）由Dn+1Dn，得an+1an，即（2t）2n（2t）12n.（8分）∴02t1，即0t.21（9分）（Ⅲ）当41t时，.)21(8112nna（10分）∴])21()21()21(21[81242nnSn不难证明：当n≤3时，2n-1≤n+1；当n≥4时，2n-1n+1.（11分）∴当n≤3时，;7213])21()21(21[842nnnSn（12分）当n≥4时，])21()21()21()21()21(21[816542nnnS.7)21(72nnn（13分）综上所述，对任意的.7*,nSNnn都有（14分）